3. Стационарные колебательные системы

Рассмотрим колебания систем с постоянными параметрами Соответствующее решение будет периодическим, с периодом по фазовой переменной которая линейно зависит от времени. Таким образом, решение имеет вид

с фазой вида

где угловая частота колебаний, константа. Поскольку система стационарна, любое решение останется решением при добавлении произвольной константы к времени. Так как решение является функцией только то из (11) видно, что это справедливо и при произвольном изменении Таким образом, (назовем его фазовым сдвигом) обладает свойствами, отмеченными в разд. результате произвольного сдвига фазы одно периодическое решение порождает целое семейство решений.

Действие А, вычисленное для семейства решений, можно связать с отдельным решением и считать мерой интенсивности колебаний. Можно вычислить и сохраняющийся в этом случае гамильтониан

где усредненный по фазе лагранжиан для данного решения. Другой результат состоит в следующем. С помощью (1)

можно показать, что Интегрирование по одному периоду дает

В частном случае, когда квадратичная форма переменных основные уравнения (1) становятся линейными и однородными по Для такой линейной системы и (13) означает, что что Если интепретировать как разность кинетической и потенциальной энергий, то мы приходим к классическому результату о равномерном распределении энергий в линейных осцилляторах, т. е. о равенстве средних кинетической и потенциальной энергий. Формула (13) представляет собой обобщение этого результата для нелинейных колебательных систем общего вида.

Выше обсуждалось отдельное решение уравнения (1), имеющее вид (10) с определенными значениями . В общем случае это решение не изолировано, и имеются периодические решения со слегка отличными значениями По обычной терминологии такие соседние решения относятся к одной и той же колебательной моде. Для данной моды величины , вообще говоря, взаимосвязаны, так что выполняется соотношение

описывающее функциональную зависимость частоты от интенсивности колебаний. Для соответствующего семейства решений вместо (10) можно записать

В методе Уизема (см. гл. V) средний лагранжиан вычисляют из (11) и (15) как функцию не требуя, чтобы удовлетворяла соотношению (14). Затем применяют к среднему лагранжиану вариационный принцип, рассматривая вариации интенсивности А и фазы При этом варьирование по А дает

что эквивалентно (14). Из вариации по имеем

что равносильно (9). Производную с учетом того, что частота удовлетворяет (14) или (16), можно отождествить с действием А для данного решения. Если определяется

формулой (12), то сразу получаем Из (12) и (16) также следует, что (14) можно переписать в виде

Вернемся к примеру с нелинейным осциллятором, рассмотренным в разд. 1. Стационарность колебательного движения означает, что и решение дается выражением

Частота равна где период, равный

Действие можно вычислить из (8):

Результат (14) можно легко проверить. Действие А равно площади, охватываемой кривой, которая представляет решение на фазовой плоскости с декартовыми координатами умноженной на