5б. Уравнение Клейна — Гордона
В нелинейных задачах методы получения функции 
являются более сложными, и, прежде чем рассматривать общий случай, полезно снова рассмотреть частный пример. В случае нелинейного уравнения Клейна — Гордона первоначальное выражение для усредненного лагранжиана получается из (58) и (60) в виде
Известно, что периодическое решение удовлетворяет уравнению (22). Используя его, получаем (73) в следующем виде:
где 
опять обозначает интеграл по полному периоду подынтегральной функции. Для окончательной формулы не требуется знать зависимость 
от 
В соответствии с (62) дисперсионное соотношение должно иметь вид
данное уравнение совпадает с дисперсионным соотношением (24). В линейном случае 
зависимость от А пропадает.
Действительно, в этом пределе уравнение (74) принимает вид
поскольку А пропорциональна 
это согласуется с общим рассмотрением, проведенным выше.
