2. Множества пределов

Поскольку не ясен вопрос о существовании стационарных бесстолкновительных ударных волн именно малой амплитуды, необходимо рассмотреть двойной предельный переход, когда амплитуда разрыва стремится к нулю и, кроме того, так как вряд ли можно наблюдать хорошо выраженный скачок до тех пор, пока он не станет в какой-то степени стационарным, по крайней мере в некоторой галилеевской системе отсчета.

Такой двойной предел, конечно, вполне обычен для математической физики, где часто встречаются понятия малой амплитуды и большого времени. При этом уже выработалась стандартная процедура: сначала полагают что позволяет линеаризовать задачу, а затем исследуют асимптотическое поведение решения на большом интервале времени.

Однако редко обращают внимание на то, что экспериментальная физика обычно имеет дело с пределами, взятыми в обратном порядке. Например, в случае ударных волн данные наблюдений почти всегда относятся к скачкам фиксированной (пусть малой) амплитуды на таких интервалах времени, за которые они успевают в достаточной степени установиться. Таким образом, большая часть теоретических результатов основана на неявно выраженной уверенности, что эти пределы можно менять местами. Нет, пожалуй, ничего удивительного ни в том, что этот принцип хорошо служил на протяжении ряда поколений, ни в том, что мы, наконец, пришли к задачам настолько сложным, что приходится рассматривать исключения из правила.

Результат применения классической операции получится ниже автоматически при отыскании корректного предела. К этому результату пришли независим» разные авторы с помощью как классических, так и вполне современных асимптотических методов; однако он не был опубликован ввиду его неудовлетворительности. Хуже всего то, что на первый взгляд этот результат выглядит вполне корректным и правдоподобным, но тем не менее он неверен. Это было первым указанием на то, что парадокс Мортона может быть тонкой проблемой, не поддающейся превосходным методам, изложенным в других главах этой книги.

Поскольку двойной предел должен браться в строго определенном порядке:

Фиг. IX. 3

Фиг. IX. 4.

то мы не можем рассчитывать на линеаризацию, а для двойной нелинейной асимптотики, по-видимому, не было разработано какого-либо метода анализа. Излагаемый здесь подход [4,5] связан со следующей идеей. Требуемый двойной предел можно представить символически на плоскости переменных (фиг. IX. 3). Рассмотрим предел при фиксированном а затем совокупность таких пределов для последовательности фиксированных значений убывающих до нуля. Этот двойной предел может быть рассмотрен как предел однократных пределов, представленных в плоскости последовательностью кривых, приближающихся к началу координат все более круто, как показано на фиг. IX. 4. Любая из этих кривых могла бы представлять предел, в котором в некотором соотношении с иными словами, в котором

с фиксированным и подходящей функцией стремящейся к бесконечности при

Первое, что приходит в голову, — это рассмотреть в качестве семейство всех степенных функций с действительными Однако необходимо допускать также логарифмы и экспоненты (и все их комбинации), и это семейство становится весьма сложным в обращении, оставаясь тем не менее неполным. Более простой и убедительный способ поиска предельных точек для множеств пределов связан с исследованиями Каплуна [6] по обоснованию метода внутренних и внешних разложений и многих других асимптотических методов.

Пусть обозначает множество

всех положительных непрерывных функций определенных для всех возможных параметров, больших или малых). Для любой функции можно определить класс эквивалентности порядка с помощью соотношения эквивалентности

и при рассмотрении предела нет необходимости различать функции внутри одного класса. Можно ввести упорядочение среди этих классов с помощью определения

Однако оно дает только частичное упорядочение, так как например, функция но ее класс никак нельзя соотнести с

Итак, мы видим, что множество всех классов эквивалентности порядка много больше множества действительных чисел. В нем можно ввести топологию с помощью следующих двух определений. Назовем множество классов эквивалентности порядка выпуклым, если из того, что следует, что также и Иными словами, если выпуклое множество содержит два взаимно упорядоченных класса, то оно также содержит любой класс, который можно расположить между ними, т. е. множество не имеет пробелов. Назовем множество классов эквивалентности порядка выпукло-открытым, если оно выпукло и если при существуют такие что Иначе говоря, выпукло-открытое множество вместе с каждым элементом содержит также элементы слева и справа от него [7]. Множество называют открытым, если оно является объединением выпукло-открытых множеств. Для дальнейшего полезно добавить понятие правого множества для

состоящего из элементов т. е. множества всех классов эквивалентности порядка справа от [4]. [В более примитивной трактовке, отраженной на фиг. IX. 4, это множество соответствует семейству всех кривых, стремящихся к началу координат более круто, чем данная кривая

Рассмотрим теперь произвольную функцию переменной и положительного параметра Чаще всего представляет собой векторную переменную, величина которой измеряется обычной евклидовой длиной; этот случай мы и рассмотрим ниже. Функция может быть любой функцией, величина которой

определяется некоторой нормой, в частности действительной векторной функцией; интересующая нас норма появится в разд. 6 при формулировке задачи из физики плазмы.

Основная трудность при разработке современных асимптотических методов состоит в неоднородности приближения, которая возникает, когда одного предельного процесса недостаточно для построения решения во всей области Предположим для определенности, что единственная особая точка, так что функция определена, скажем, для всех и для Чтобы изучить окрестность точки может оказаться необходимым рассмотреть зависимую переменную не только как функцию но также как функцию переменных где новая переменная зависит от Чтобы избежать чрезмерной общности, предположим, что вблизи точки величина зависит главным образом от так что новую переменную достаточно взять в виде где параметр, зависящий только от Точнее говоря, производится преобразование переменных от по формулам

т. е. функция имеет те же значения, что и в соответствующих точках. Каплун [6] предложил рассматривать одновременно множество таких «преобразований растяжения» для всех и множество соответствующих пределов. Следуя Фройнду [8], примем следующее определение: если для всех замкнутых интервалов предельная функция существует и достигается однородно на множестве то по определению

Иными словами, это предел функции при с фиксированным а не Например, если при то в предельном переходе также и причем стремится к отличному от нуля предельному вектору. Аналогичное определение с более жестким требованием однородности было рассмотрено в работе [4]. Каплун [6] не указывает достаточно четко, каким определением он пользуется.

Мы видим, что «скорость», с которой стремится к нулю при в предельном переходе зависит только от так как (см [8]) если