2. Нелинейные гиперболические системы законов сохранения

Закон сохранения — это уравнение вида

Здесь в качестве мы выберем некоторую нелинейную функцию Обозначая

можно переписать (29) в виде

откуда видно, что значение и постоянно вдоль траекторий, которые соответствуют распространению со скоростью а. По этой же причине а называется скоростью сигнала. Заметим, что вследствие предположений о нелинейности функции скорость сигнала зависит от и.

Мы будем рассматривать слабые решения уравнения (29), описанные в гл. III. Для ограниченных кусочно-непрерывных решений это уравнение может быть выражено в интегральной форме

Здесь мы предположим, что и

что всегда может быть достигнуто вычитанием некоторой константы из Физическая интерпретация уравнения (32) заключается в следующем: изменение «Количества» и, содержащегося в промежутке на временном интервале обусловлено потоком через граничную точку у.

Для кусочно-непрерывного решения из (32) следует условие на скачке

где нижние индексы указывают, что значения взяты на левой и правой сторонах разрыва соответственно, обозначает скорость движения линии разрыва

Чтобы обеспечить единственность решения, мы налагаем энтропийное условие, которое для кусочно-непрерывных решений состоит в том, что возмущения, возникающие вблизи точки скачка, всегда достигают этой точки. Как показано в гл. III, это условие эквивалентно неравенствам

Используя определение (30) для а и (34) для отсюда имеем

Для выпуклой функции это соответствует требованию

Известно (см. гл. III), что для выпуклой и начальных данных, ограниченных на компактном множестве, начальная задача должным образом ставится внутри класса решений, которые удовлетворяют энтропийному условию. Обратимся теперь к исследованию асимптотического поведения этих решений при

Начнем с конкретного примера. Возьмем простейшую нелинейную функцию

которая выпукла при . В этом случае дифференциальное уравнение (81) принимает вид

Соотношение на скачке (34) записывается как

Нетрудно проверить, что для всех значений параметров функция определяемая выражением

удовлетворяет дифференциальному уравнению (36) всюду, где функция непрерывна и удовлетворяет условию (37) вдоль линий разрывов

Выражение (38) определяет -волну», описанную в гл. IV, разд. 2. Поскольку параметры как и неотрицательны, энтропийное условие (35) удовлетворяется.

Роль двухпараметрического семейства решений задаваемого выражением (38), состоит в том, что каждое решение и уравнения (29) с ограниченными начальными значениями ведет себя при достаточно больших как

Теорема 1. Предположим, что выпуклая функция. Каждому решению уравнения (29) с ограниченными интегрируемыми начальными значениями соответствуют такие две неотрицательные константы что

где норма является -нормой по

Для уравнения (36) это было доказано Хопфом [6], а для случая любой ограниченной выпуклой Лэксом [7]. Для произвольного выпуклого постоянные должны быть выбраны в виде

Легко проверить, что для фиксированного

Это показывает, что параметры входящие в асимптотическое выражение для и, являются инвариантными функционалами и. Перейдем теперь к их определению.

Заметим, что, как следует из закона сохранения (32), для решений и, которые стремятся к нулю при величина

является инвариантным функционалом. Из теоремы 1 следует, что

Краткое вычисление дает

и, следовательно,

Чтобы определить отдельно нам необходим другой инвариантный функционал. Один из таких функционалов задается следующей теоремой:

Теорема 2. Для выпуклой функции выражение

является инвариантным функционалом для решений (29). Доказательство этого факта было дано в [7]. Мы приведем здесь другой вывод, справедливый для кусочно-непрерывной функции, начальные значения которой заданы на ограниченном интервале. Обозначим через правую часть (40), а через -точку, в которой достигается минимум. Полагая в и пользуясь определением минимума мы получаем пару неравенств

и

из которых вытекает

где

Здесь используются сокращенные обозначения вместо а также

Лемма 2. Точка это точка непрерывности функции и, причем

Доказательство. Поскольку функция -минимизирующая,

Если не выполняется равенство то это противоречит энтропийному условию (35), как и предполагалось. Поскольку

является непрерывной функцией не зависящей от при больших отсюда следует, что последовательность минимизирующих точек при является компактной. Из этого результата и леммы 2 мы легко выводим следующее:

Заключение. Множество минимизирующих точек при находится на конечном расстоянии от любого разрыва с амплитудой, большей

Возьмем теперь такие значения для которых а изменения и меньше на любом интервале длины на оси который не содержит скачка. Из этого следует, что изменение на интервале меньше Поскольку, согласно то на этих интервалах по так как вследствие мы заключаем, учитывая непрерывность что на таких интервалах по где вместе с Таким образом, из (42) и (41) получаем

для достаточно малых Из этого следует, что производная везде равна нулю, поэтому что и утверждалось в теореме 2.

Простые вычисления дают

Следовательно, из теорем 1 и 2 вытекает, что для любого и

Заметим, что функционалы непрерывны для топологии Из теоремы 1 следует, что любой другой инвариантный функционал, непрерывный в топологии является функцией

Обратимся теперь к системам законов сохранения

где нелинейные функции от Мы предполагаем, что система (44) принадлежит к гиперболическому типу, т. е. матрица

имеет действительные и различные собственные значения для всех и. Эти собственные значения и являются скоростями сигналов, соответствующих системе (44).

Разумно предположить, что и здесь справедлив аналог теоремы 1, где теперь дается суммой пилообразных функций

вида (38), по одной для каждой из скоростей Подобная теорема может быть строго доказана для и для решений, у которых начальные значения и являются достаточно малыми, чтобы можно было использовать методы, развитые Глиммом и Лэксом [8].

Из обобщения теоремы 1 для систем должно следовать, что величины появляющиеся в асимптотическом описании решения, представляют собой инвариантные функционалы. Поскольку уравнения (44) имеют форму законов сохранения, отсюда следует, что величины определяемые формулой (39) при также являются инвариантными функционалами. Существование функционалов и указывает на то, что функционал определяемый выражением (40), также имеет аналог в данном случае. И хотя было бы излишней самонадеянностью рассчитывать получить для него явную формулу, даже доказательство существования таких функционалов весьма желательно. В работе [9] можно найти более полное изложение этого вопроса.