Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Нелинейные гиперболические системы законов сохраненияЗакон сохранения — это уравнение вида
Здесь в качестве
можно переписать (29) в виде
откуда видно, что значение и постоянно вдоль траекторий, которые соответствуют распространению со скоростью а. По этой же причине а называется скоростью сигнала. Заметим, что вследствие предположений о нелинейности функции Мы будем рассматривать слабые решения уравнения (29), описанные в гл. III. Для ограниченных кусочно-непрерывных решений это уравнение может быть выражено в интегральной форме
Здесь мы предположим, что
что всегда может быть достигнуто вычитанием некоторой константы из Для кусочно-непрерывного решения из (32) следует условие на скачке
где
Чтобы обеспечить единственность решения, мы налагаем энтропийное условие, которое для кусочно-непрерывных решений состоит в том, что возмущения, возникающие вблизи точки скачка, всегда достигают этой точки. Как показано в гл. III, это условие эквивалентно неравенствам
Используя определение (30) для а и (34) для
Для выпуклой функции
Известно (см. гл. III), что для выпуклой Начнем с конкретного примера. Возьмем простейшую нелинейную функцию
которая выпукла при
Соотношение на скачке (34) записывается как
Нетрудно проверить, что для всех значений параметров
удовлетворяет дифференциальному уравнению (36) всюду, где функция
Выражение (38) определяет Роль двухпараметрического семейства решений Теорема 1. Предположим, что
где норма является Для уравнения (36) это было доказано Хопфом [6], а для случая любой ограниченной выпуклой
Легко проверить, что для фиксированного
Это показывает, что параметры Заметим, что, как следует из закона сохранения (32), для решений и, которые стремятся к нулю при
является инвариантным функционалом. Из теоремы 1 следует, что
Краткое вычисление дает
и, следовательно,
Чтобы определить отдельно Теорема 2. Для выпуклой функции
является инвариантным функционалом для решений (29). Доказательство этого факта было дано в [7]. Мы приведем здесь другой вывод, справедливый для кусочно-непрерывной функции, начальные значения которой заданы на ограниченном интервале. Обозначим через
и
из которых вытекает
где
Здесь используются сокращенные обозначения Лемма 2. Точка
Доказательство. Поскольку функция
Если не выполняется равенство
является непрерывной функцией Заключение. Множество минимизирующих точек Возьмем теперь такие значения
для достаточно малых Простые вычисления дают
Следовательно, из теорем 1 и 2 вытекает, что для любого и
Заметим, что функционалы Обратимся теперь к системам законов сохранения
где
имеет действительные и различные собственные значения для всех и. Эти собственные значения Разумно предположить, что и здесь справедлив аналог теоремы 1, где вида (38), по одной для каждой из Из обобщения теоремы 1 для систем должно следовать, что величины
|
1 |
Оглавление
|