2д. Преобразование Хопфа — Коула

Проведенное нами изучение одномерных волн небольшой амплитуды дает довольно полную картину их поведения в любой момент времени, исключая этап перехода от волны, описываемой формулой (36) с умеренным значением числа Рейнольдса, к волне с малым значением числа Рейнольдса, которой соответствует выражение (37,). К счастью, для одномерного случая можно выяснить и эти детали, применяя преобразование Хопфа — Коула благодаря которому при уравнение (31) сводится к уравнению теплопроводности для Таким образом, можно решить начальную задачу, и ее решение записывается в виде

Это решение полностью описывает структуру волны в любой момент времени. Найдено [10], что локальное число Рейнольдса, соответствующее выражениям (39) и (40), дается формулой

которая подтверждает правильность выражений (39) и (40) в соответствующих случаях, однако добавочных деталей мы не могли бы почерпнуть без полного решения (31). Это решение оправдывает все наши результаты (для и дает замечательно точное описание сложного нелинейного физического явления. Некоторые математические сложности, возникающие для неплоских движений, хорошо видны после следующей замены

переменных: . С учетом этой замены уравнение (31) принимает вид

где для для Последнее уравнение может служить в качестве другого возможного инструмента при получении результатов для или но при этом физический смысл уравнения не столь ясен, как в случае (25в).