2д. Солитонные решения

Существует частный класс начальных условий, для которого могут быть получены точные решения, а именно те начальные условия, которые точно переходят только в солитоны. Мы назовем их -солитонными решениями (или просто солитонами); обозначает число солитонов. Для иллюстрации метода нахождения этих точных решений мы рассмотрим решение в виде уединенной волны, а также решение, состоящее из двух солитонов.

Общий вид уединенных волн дается выражением (4). Для удобства положим тогца начальным условием будет

Соответствующая задача на собственные значения может быть решена точно [27]. Здесь имеется дискретное собственное значение и соответствующая константа нормировки Кроме того, следовательно, обращается в нуль для всех это означает, что уединенная волна является безотражательной — данный потенциал нельзя

обнаружить, посылая на него из бесконечности плоскую волну и измеряя отраженную волну.

Уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

Попытка разделить переменные в виде дает уравнение

которое приводит к решению

Тогда решением начальной задачи для уравнения КДВ является

что в точности совпадает с (4) (при Рассмотрим теперь начальное условие

Оно не приводит к решению типа уединенной волны, так как отношение амплитуды к ширине не соответствует формуле (4). Коэффициент отражения снова равен нулю, но теперь существуют два различных собственных значения Точное решение имеет вид

Асимптотически при возникают два солитона с амплитудами 2 и 8 соответственно.

В работе [28] было показано, что если то из начального распределения появляются только солитоны, т. е. решение распадается на солитонов. Для таких решений уравнение Гельфанда — Левитана легко сводится к конечной системе липеиных алгебраических уравнении, которая всегда может быть решена в явном виде. Из этой системы видно, что Ассолитонные решения можно записать в виде рациональных функций от экспонент. Анализ асимптотики точных решений при больших показывает, что существует взаимно-однозначное соответствие между собственными числами и солитонами, образующимися из начального распределения; солитоны полностью

характеризуются единственным параметром (не считая фазового сдвига). Это соответствие задается соотношением

где обозначает минимальное значение (амплитуду) солитона, соответствует параметру а в выражении (4); при этом величина равна скорости сблйтона.

К сожалению, в настоящее время еще не получено каких-либо точных решений для более общих начальных условий, когда решение содержит как солитоны, так и осцилляторный «хвост» (см. фиг. VIII. 2). В этих случаях коэффициент отражения не равен тождественно нулю и возникают большие математические трудности из-за наличия интегрального члена в