5в. Преобразование Гамильтона

Переход от лагранжиана (73) к (74) — это не только вопрос удобства. Введение параметра А в выражение (73) означает, что мы используем информацию о периодическом решении, содержащуюся в нервом интеграле (22), однако выражение для функции должно оставаться достаточно гибким, чтобы можно было применить вариационный принцип. Например, выражение (22) неявно содержит и дисперсионное соотношение [что следует из (24)], но мы не хотим вводить его в явном виде — оно должно получаться как следствие вариационного принципа. Это важный вопрос, который может быть полностью выяснен только в результате использования последующего формального разложения теории возмущений, описанного в разд. 8. Здесь же существенно, чтобы такое разложение было по крайней мере однозначным. Процедура состоит в следующем.

Уравнение (59), которое всегда имеет первый интеграл

описывает периодическое решение. Введем вместо новую переменную

и положим

Это аналогично преобразованию Гамильтона в механике. Тогда интеграл (75) записывается в виде

Теперь из уравнения (75) следует, что

Наконец, из уравнения (78) можно определить II как функцию от и параметров и записать контурный интеграл как функцию