3. Двойные асимптотики

В формулировку задач математической физики некоторый параметр обычно входит только в немногих местах. Поэтому в каждой задаче пределы Каплуна естественно распадаются на семейства, внутри которых различие между разными пределами

менее существенно, чем между семействами. При этом полезно следующее определение [7]: функцию назовем -приближением функции на выпуклом множестве если для всех

На указанных выше определениях основана теорема Каплуна о продолжении, касающаяся принципов сращивания асимптотических разложений [7, 8]. Для их применения к анализу асимптотик на больших временах требуется еще устранить неудобства обозначения, поскольку следует ожидать, что функции, которые нам встретятся, при скорее стремятся к более простым функциям времени, чем к определенным пределам. С другой стороны, обычное обозначение не годится для двойных пределов. В качестве компромисса будем использовать обозначение если -асимптотическое приближение для иными словами, при . (При подходящем выборе функций это определение включает приближение любого порядка.)

Рассмотрим теперь для простоты функцию двух действительных переменных и «двойной предел»

Тогда мы можем искать асимптотическое приближение при для асимптотического приближения

функции при Строгое определение асимптотического -приближения для при означает функцию со следующим свойством: для любого заданного существуют такие положительные числа и что при имеем

Это не единственный вид приближения к двойному пределу, который можно себе представить. Хотя данное выше определение означает, что разность между с ростом времени монотонно убывает для любого фиксированного этого не требуется от разности между Но для многих физических приложений достаточно однородной границы, убывающей монотонно с внутри которой находится эта разность. Действительно, чтобы характеризовать предельное (в отличие от любого переходного) поведение функций во времени для фиксированного произвольно малого достаточно следующего, введенного Фройндом понятия есть предельное -приближение для при если для любого заданного существуют такое число и такая положительная функция

на что из условий следует

Этим понятием, кроме того, часто можно пользоваться, чтобы связывать двойной предел с однократным пределом Каплуна, используя следующую теорему Фройнда [8].

Теорема. Функция является -приближением для на правом множестве тогда и только тогда, когда она является предельным -приближением для при

Правое множество понимается здесь в обозначениях и вместо в данных выше определениях. Более узкое определение предела [2] приводит к такой же теореме с термином «асимптотическое» вместо «предельное»; при этом к тому же еще требуется, чтобы для так что область практического применения этой теоремы представляется слишком узкой.

Итак, в изучении нелинейных двойных асимптотик достигнут некоторый прогресс, который обусловливает возрастание роли таких асимптотик в математической физике. Стало ясно, что выражение «двойной предел» всего лишь указывает путь к многим различным приближенным построениям. Среди них с помощью простого критерия, даваемого теоремой Фройнда, можно отличить предельное приближение от переходных. Практически этого достаточно для анализа однократных пределов Каплуна. Если мы получаем приближение на правом множестве, то обеспечено предельное приближение. Если нет, то в результате можно получить лишь переходное асимптотическое приближение.

Обсуждение двойных асимптотик велось здесь для простоты только для двух скалярных переменных, однако не возникает сложностей при перенесении его на случай большего числа переменных. Кроме того, нам будет удобнее пользоваться функцией тогда соответствующий критерий дается теоремой Фройнда с заменой выражения на а правого множества на левое