2г. Асимптотическое поведение волны

До тех пор пока толщина ударной волны остается много меньше, чем расстояние, на котором поток вне ударной волны заметно изменяется, фронт волны можно рассматривать как разрыв. Отсюда следует, что волна будет искажаться так, как показано на фиг IV. 1, и, после того как неоднозначность устраняется введением ударных волн, превращается в пилообразную или, как в указанном здесь случае, в волну, имеющую форму буквы -волна). Последующее поведение такой пилообразной или -волны определяется простым геометрическим построением до тех пор, пока волна не затухнет настолько, что станет существенной структура ударной волны. Таким образом, на значительном этапе своей эволюции волна искажается так, как показано на фиг. IV. 2. Волна будет состоять из треугольных элементов, аналогичных элементу, показанному при . В любой последующий момент времени такой элеменч удлиняется, но при этом остается трехзначным треугольным импульсом с той же самой амплитудой. Разрыв вводится так, что функция превращается в однозначный треугольный импульс длиной но с меньшей амплитудой. Заметим, что в соответствии с условием (33) площади треугольников должны быть одинаковыми; из геометрии решения ясно, что и, следовательно,

Для больших и до тех пор, пока толщина ударной волны мала по сравнению с имеем

Фиг. IV. 2. Асимптотическое поведение

Таким образом, амплитуда ударной волны уменьшается как в то время как общая длина волны увеличивается как для и 2 соответственно.

Во всех случаях, за исключением одномерного движения только с положительной полярностью ударная волна в конце концов расплывается так, что толщина разрыва сравняется с длиной связанной с величиной позади фронта ударной волны. На этом этапе все члены в уравнении (31) играют одинаковую роль, а формулы (36) более не применимы. В дальнейшем нелинейные члены уже несущественны, и асимптотическую формулу для затухания на заключительном этапе получаем из уравнения (28):

здесь площадь, равная При этом мы предположили, что начальные условия приводят на нелинейном этапе к симметричной -волне.

Поведение волны описывается решением (37) вместо (36) тогда, когда длина волны сравнима с толщиной разрыва, т. е. когда число Рейнольдса, связанное со скоростью позади разрыва и длиной волны, сравнимо с числом определяемым выражением (35). Для произвольного импульса удобно ввести «локальное» число Рейнольдса

здесь координаты соседних нулей функции а координаты соседних нулей функции Интегрируя (31) в пределах между последовательными нулями, находим

Для импульса только с одной полярностью, для которого всюду (или 0), имеем . В этом случае (при мы видим, что -постоянная величина и в поведении волны здесь нет никакого перехода к линейной акустике вязких сред, описываемой выражением (37). Когда импульс с ударным фронтом движется в невозмущенной среде, мы имеем и из фиг. IV. 2 можно видеть, что на интервалах времени

здесь момент времени, при котором волна имеет показанную на фигуре треугольную форму (как бы половина -волны). Подставляя этот результат в выражение (38), можно определить значение в последующие моменты времени; в случае для находим

здесь локальное число Рейнольдса, соответствующее . В соответствии с выражениями (39) локальное число Рейнольдса уменьшается от значения до тех пор, пока условие не перестанет выполняться. В конечном счете решение описывается формулой линейной акустики вязкой среды, и, используя выражение (37) для в (38), мы находим, что Из линейного решения следует, что константа должна быть равна нулю; отсюда окончательно получаем

Как показали численные расчеты [12], для случаев формула (39), основанная на предположении оказывается справедливой при уменьшении до единицы или меньшего значения.