2и. Кинематические волны

Тип движения, называемый кинематическим волновым движением, возникает в том случае, когда имеется определенное функциональное соотношение, связывающее плотность и поток некоторой сохраняющейся физической величины [2]. Кинематическими можно приближенно считать волны, обусловленные подъемом воды в реках, а также явления в потоке транспорта; в этих случаях сохраняется соответственно количество воды и число автомобилей. Кинематические волны не являются волнами в смысле, используемом в этой книге. Для нас, однако, представляет интерес аналогия между кинематическими волнами и волнами, обсуждаемыми во всех остальных разделах этой главы.

Для одномерного движения с плотностью сохраняющейся величины и ее потоком закон сохранения можно записать в виде

Допустим, что плотность и поток связаны известным функциональным соотношением

которое аналогично выражению (13). Тогда уравнение, выражающее сохранение можно переписать в виде

Отсюда следует, что величина постоянна на траекториях (характеристиках) точек, движущихся с «групповой скоростью»

Аналогия становится полной, если заметить, что в случае распространения обычной волны также выполняется «уравнение сохранения»

соответствующее сохранению фазы или числа гребней.

В трехмерном случае такая аналогия теряет силу. Поток теперь является вектором, а уравнение сохранения скалярно:

Вместе с тем аналогичное уравнение для частоты и волнового числа теперь является векторным:

Теория кинематических волн может быть распространена на трехмерный случай, если соответствующее функциональное соотношение имеет вид

[но не ]. В этом случае роль «групповой скорости» играет