2. Диссипативные эффекты в газовой динамике и уравнение Бюргерса

Уравнения газовой динамики представляют собой систему квазилинейных гиперболических уравнений. Такие системы обсуждались в предыдущей главе. При этом нестационарные уравнения механики невязкой сплошной среды были должным образом включены в более полные уравнения вязкой среды. Одно из замечательных уравнений механики сплошной среды — уравнение Бюргерса — дает прекрасную иллюстрацию такого включения. Это уравнение описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В пределе исчезающе малой диссипации оно обеспечивает правильную интерпретацию решения в случае невязкой среды. Это уравнение имеет богатую историю, обсуждать которую, у нас здесь нет возможности. Оно было предложено Бюргерсом [9] как модельное уравнение, для описания одномерной турбулентности. Лайтхилл [10] показал, что при правильной интерпретации это уравнение пригодно для описания распространения плоских волн небольшой амплитуды.

Ниже мы выведем уравнение Бюргерса для одномерных неустановившихся движений газа с плоской, цилиндрической и сферической симметрией. Пространственную координату обозначим через Нас интересуют движения с малой амплитудой, характеризуемой параметром плотность скорость (в направлении оси ) и энтропия являются безразмерными и определяются следующим образом:

Индекс указывает невозмущеиные значения, которые будем считать постоянными, а — скорость звука, а удельная теплоемкость при постоянном давлении. Соответствующие безразмерные независимые переменные определяются так,

что расстояние измеряется в единицах характерной длины волны I, а время — в единицах характерного периода времени, за которое волна распространяется на расстояние I:

Соответствующей мерой величины I служит отношение которое характеризует максимальный наклон профиля скорости. (Синусоидальная волна имеет длину . В этих обозначениях нестационарные уравнения Навье — Стокса записываются в виде

где вектор-столбец, составляющими которого являются искомые переменные, вектор-столбец, определяемый геометрией задачи:

здесь для движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией соответственно, а матрицы имеют вид

Входящая в матрицу С безразмерная температура связана с соотношением

Наряду с малым параметром характеризующим амплитуду волны, мы имеем и другие малые параметры: параметр определяемый начальным движением, которое может быть обусловлено, например, движением поршня по закону

[причем ], а также параметр вязкость, так что есть отношение вязких сил к инерционным. В воздухе при нормальных условиях (на уровне моря) число Рейнольдса где I измеряется в метрах. Другие параметры, входящие в (21), — отношение удельных теплоемкостей отношение сдвиговой и объемной вязкостей и число Прандтля величины порядка единицы. Для воздуха при довольно широко изменяющихся условиях тогда как параметр », который учитывает в многоатомных газах потери вследствие перехода энергии трансляционного движения к колебательному движению молекул, заметно меняется в зависимости от концентрации водяного пара. Мы не выписали здесь полностью правую часть уравнения (21), поскольку в нашем приближении мы пренебрегаем членами третьего порядка малости.