4. Физические примеры

4а. Натянутая струна

Основное уравнение (27) появляется в теории колебаний натянутой струны, если использовать обычные упрощающие предположения, связанные с линеаризацией задачи. Предположим, что натяжение струны постоянно. Обозначим поперечное смещение струны через у, а координату вдоль струны — через Угол отклонения струны предполагается малым настолько, что его косинус можно аппроксимировать единицей, а синус — тангенсом, равным Струна всегда находится в равновесии в направлении поэтому рассматривается ее движение только в направлении у. Струна характеризуется не зависящей от Массой на единицу длины (погонной плотностью) Поперечная компонента силы натяжения равна Тогда поперечная сила, действующая на малый элемент струны длиной (фиг. 1.5), приблизительно равна

и, следовательно, пропорциональна кривизне струны. Если приравнять эту силу массе элемента струны умноженной на его поперечное ускорение то получим уравнение (27)

где волновая скорость а определяется выражением

Волны в натянутой струне являются поперечными, так как смещения происходят под прямым углом к оси Возможно также движение в направлении и смещения в направлении подчиняются тому же уравнению с той же волновой скоростью. Следовательно, данная система вырождена в том смысле, что существуют две различные моды, характеризуемые одним и тем же дисперсионным соотношением. Как и в случае линейных колебаний сферического маятника, волновое движение может быть поляризовано; оно поляризовано в направлении у, если или под углом 45°, если . В случае

имеет место круговая поляризация синусоидальной волны. Поляризация является общим свойством многих типов поперечных волн.

В случае движения только в направлении у плотность кинетической энергии равна

Фиг. 1.5. Силы, действующие на элемент струны.

Потенциальную энергию можно представить как умноженное на удлинение струны. Так как длина струны представляет собой интеграл от то ее увеличение на единицу расстояния равно Следовательно, плотность потенциальной энергии равна

Поток энергии через некоторую точку струны равен поперечной силе умноженной на поперечную скорость

Закон сохранения энергии определяется уравнением (36), умноженным на Аналогичные результаты имеют место для движения в направлении в случае, если отсутствует взаимодействие с движением по у.

Наиболее привычным примером колеблющихся натянутых струн может служить работа струнных музыкальных инструментов. В подобных случаях граничные условия имеют вид при Обычно используют разложение решения на нормальные моды, причем основной моде соответствует частота а последующим — ее высшие гармоники: Каждую моду можно рассматривать как независимый линейный осциллятор, имеющий свои начальные условия, поляризацию, энергию и т. д.

В музыкальных инструментах струны могут приводиться в движение тремя способами: ударом (пианино), щипком (гитара,

клавикорды) или смычком (скрипка). Так как смычок производит продолжительное возбуждение, то для описания движения необходима модификация нашей теории. Удар и щипок могут рассматриваться как создание определенных начальных условий. Во всех случаях движение струны передается через один из закрепленных концов акустической системе, которая излучает звуковые волны. Так как этот процесс отбирает энергию от колеблющейся струны, то движение последней затухает. В общем случае, чем ближе к одному концов струны находится точка удара, щнпка или воздействия смычка, тем интенсивнее возбуждаются гармоники, более высокие по отношению к основной. Высшие гармоники сильнее возбуждаются ударом, чем щипком; в пианино «тот аффект нейтрализуется за счет использования мягко бьющих молоточков, так как они обладают способностью гасить высшие гармоники в процессе удара.

Более сложная система — натянутая мембрана — может совершать двумерное волновое движение, скажем, в плоскости ; при этом отклонение от плоскости описывается функцией Если рассматривать движения, не зависящие от и положить, что плотность мембраны на единицу площади, ее натяжение в направлении на единицу длины, то мы получим то же самое уравнение, что и для натянутой струны. Плотность анергии теперь берется на единицу площади; движение также поперечное, однако вырождение, связанное с различными поляризациями, отсутствует.