где
время,
возмущения давления и плотности соответственно. В уравнении (3) члены, содержащие
и
исчезают после подстановки (1). Уравнение непрерывности имеет вид
где
— полная плотность. Условие несжимаемости дает
где
Из соотношений (4) и (5) получаем уравнение
которое представляет собой более простую форму уравнения непрерывности. Так как
-функция только
уравнение (5) можно записать в форме
(если пренебречь квадратичными относительно возмущений членами). Уравнения (2), (3), (6) и (7) и являются исходными в линейной теории волн малой амплитуды в слоистой несжимаемой жидкости.
Уравнение (6) позволяет использовать вместо
функцию тока
полагая
Изучая волновые движения, мы предположим, что функция
пропорциональна
где
«круговая частота» волны. Исключая
из (2), (3) и (7) и используя (8), получим
где
Очевидно, что в данной точке уравнение (9) будет эллиптическим или гиперболическим в зависимости от того, какое неравенство справедливо,
Если
то уравнение (9) является эллиптическим и волновое движение невозможно. Квадратный корень из правой части формулы (11) называется частотой Брента — Вяйсяля. Если тело колеблется в слоистой жидкости с частотой, большей, чем частота Брента — Вяйсяля, то оно не создает волн в жидкости, которая колеблется вместе с телом почти так же, как однородная жидкость без свободной поверхности. Если же выполняется второе из неравенств (10), то уравнение (9) обладает в данной точке двумя действительными характеристиками и волновое движение возможно. Конечно, в одних областях жидкости может выполняться первое неравенство (10), а в остальных — второе. В таком случае уравнение (9) принадлежит к смешанному типу, и решить его в общем виде сложно. (См. [1] и более недавнюю работу [2], где обсуждается этот вопрос.)