ГЛАВА IV. Примеры диссипативных и диспергирующих систем, описываемых уравнениями Бюргерса и Кортевега — де Вриза

Сидней Лейбович и А. Ричард Сибасс

Одним из наиболее характерных свойств волновых движений является то, что они продолжают существовать и после устранения причин, их вызывающих. Волны обычно сохраняются в течение длительного времени и могут передавать возмущения на оченй большие расстояния. В действительности, волны приобретают наиболее характерную для них форму именно после распространения на «большое» расстояние от области, в которой они зародились. Одна из важных и трудных математических проблем связана с описанием поведения волн малой амплитуды, испытывающих слабую диссипацию на больших интервалах времени. Эти ограничения не такие уж специальные, как может показаться на первый взгляд. Поскольку, как следует из наблюдений. волны действительно способны долго существовать вне источников, ограничения, связанные с предположением о малой диссипации и больших интервалах времени, являются вполне естественными. Условие малости амплитуды позволяет нам начать с рассмотрения линейных задач. К счастью, данное предположение обычно имеет физический смысл, поскольку если подождать достаточно долго, то все свободные волны будут затухать; неодномерные волны к тому же ослабляются из-за геометрической расходимости.

В настоящей главе мы рассмотрим математические методы исследования типичных физических систем в рамках сделанных выше ограничений и применим эти методы к двум примерам. В первом из них, взятом из газовой динамики, имеется слабая диссипация, характеризуемая безразмерным параметром во втором примере, относящемся к волнам на мелкой воде, потерь нет, но имеется слабая дисперсия, характеризуемая некоторым параметром . В обоих случаях величина амплитуды мала, но конечна. Как мы увидим ниже, в случаях, представляющих наибольший интерес, соответствующие нелинейные уравнения следует рассматривать на интервалах времени порядка

Оба уравнения можно объединить в одно модельное уравнение

При отсюда получаем уравнение Бюргерса, в то время как при имеем уравнение Кортевега — де Вриза. В любом случае нелинейные эффекты являются значительными, только если начальное возмущение достаточно велико, так что сравнимо с или («Начальным» может быть любой момент времени, от которого хотят приступить к вычислению последующего процесса.) Хотя два указанных уравнения выведены для конкретных случаев, следует подчеркнуть, что они возникают в самых различных физических ситуациях (см. гл. VIII, в которой можно найти другие примеры), так что в известном смысле они вообще типичны для нелинейных диссипативных и диспергирующих систем.