2ж. Нераспространяющиеся и конвективные волны

Групповая скорость, определяемая соотношением (15) или (21), в некоторых специальных случаях может обращаться в нуль. В этих случаях волны называются нераспространяющимися. При этом средний поток энергии равен нулю, и группа волн не движется. Для распространяющейся волны такую ситуацию всегда можно создать тривиальным образом посредством перехода в систему координат, движущуюся с групповой скоростью. Однако, как правило, удобнее использовать другую, более естественную систему координат (обычно такую, в которой среда изотропна).

Так, в типичных задачах о волнах в волноводах возникает дисперсионное соотношение вида

где и постоянные. В этом случае групповая скорость определяется выражением

В пределе групповая скорость стремится к нулю, и волна становится нераспространяющейся. При этом и называется частотой отсечки, поскольку не существует распространяющихся волн с частотами, меньшими . В данном случае, когда групповая скорость стремится к нулю, фазовая скорость стремится к бесконечности. Как легко видеть, эти две скорости связаны соотношением . В таком случае система волн становится бездисперсионной в пределе когда а. (Частота отсечки подробнее обсуждается в гл.

Рассмотрим далее случай, когда можно представить некоторую переменную не зависящим от времени выражением

с произвольным Рассмотрим выражение (26), как если бы оно описывало волну. Дисперсионное соотношение имеет простой вид Волна имеет нулевые фазовую и групповую скорости, она является изотропной, нераспространяющейся и не обладает дисперсией. Очевидно, необходимо существенно

расширить понятие «волна», чтобы применять его к такой тривиальной системе.

Если, однако, перейти в систему координат движущуюся влево со скоростью то выражение (26) примет вид

Это выражение уже выглядит как формула для распространяющейся волны с линейным (т. е. «бездисперсионным») законом дисперсии так что Конечно, это «распространение» уже не изотропно. Такая «волна» может быть названа конвективной волной. Ее необходимо рассматривать именно как конвективную (переносимую средой со скоростью а не распространяющуюся. Условие сохранения энергии, вообще говоря, не применимо к конвективным волнам. Концепция распространения включает в себя движение волны относительно среды в определенном физическом смысле, тогда как в данном случае такого движения нет.

Конвективные волны встречаются во многих интересных с точки арения физики примерах, где некоторый сигнал переносится потоком. Особый интерес представляют случаи, когда какой-либо нелинейный эффект в корне изменяет решение, без этого совершенно тривиальное. Один из важных физических примеров связан с работой электронных приборов типа клистрона.