3б. Преобразование Лапласа и метод наискорейшего спуска

Преобразование Лапласа для функции (оригинала) заданной в точке среды с дисперсией, определяется выражением

где комплексное число с положительной действительной частью, может рассматриваться как аналитическое продолжение интеграла на всю плоскость Предполагается, что для и что начальные возмущения в среде отсутствуют. Тогда в любой последующий момент времени волны в точке могут быть представлены с помощью обратного преобразования Лапласа

где вертикальная линия, лежащая справа от всех особенностей причем интегрирование распространяется от до функция может быть определена из дисперсионного соотношения для данной среды: Полагая и разрешая дисперсионное соотношение относительно определим в виде

где внак выбирается так, чтобы действительная часть была положительной, если действительное положительное число, Функция определяется выражением

Например, в случае I, рассмотренном в разд.

а в случае

Аналогичные результаты можно получить, применяя преобразование Лапласа непосредственно к исходному уравнению,

описывающему волновое движение, и решая получаемое в результате обыкновенное дифференциальное уравнение для удовлетворяющее в точке граничному условию

Так же как и в случае интеграла Фурье (14), интегрирование выражения (26) обычно не может быть выполнено точно; но для больших значений можно получить асимптотическое приближение. Однако в данном случае интегрирование ведется вдоль кривой на комплексной плоскости, и экспонента имеет комплексный аргумент; следовательно, метод стационарной фазы неприменим. Вместо этого мы будем использовать более общую процедуру, известную под названием метода наискорейшего спуска, или метода седловой точки.

В этом методе мы все еще интересуемся, хотя и по другой причине, точками, в которых аргумент экспоненты имеет равную нулю производную. Прежде всего попытаемся найти другой контур интегрирования удовлетворяющий следующим условиям:

1) проходит через точку где производная равна нулю, т. е.

2) вдоль всей кривой мнимая часть постоянна и равна мнимой части

3) на кривой действительная часть достигает абсолютного максимума в точке наконец,

4) интеграл по эквивалентен интегралу по или отличается от него лишь вкладом от конечного числа вычетов.

Далее будем считать, что -аналитическая функция равная и Из условий Коши — Римана известно, что если и достигает максимума в точке то должна равняться нулю. Однако в действительности существуют два контура с постоянными проходящие через Они взаимно ортогональны в точке оказывается максимальной на одном из них и минимальной на другом. Таким образом, седловая точка для и. Докажем эти результаты, определяя уравнения касательных к проходящим через кривым, на которых

Введем обозначение вблизи можно написать

тогда, полагая получаем уравнение

которое имеет два различных решения в -плоскости:

Это и есть углы наклона касательных. Действительная часть выражения (27), определенная вдоль этих линий, имеет вид

(знаки относятся к соответственно). Поэтому вдоль линии с значение является максимумом, а вдоль линии с минимумом действительной части

Определив кривую можно теперь показать, что главный вклад в интеграл (26) вдоль дают точки, близкие к другими словами, интегрирование в (26) можно заменить интегрированием вдоль касательной к в точке от до Это оказывается возможным потому, что действительная часть убывает вдоль по экспоненциальному закону в любом направлении от Далее, так как мнимая часть постоянна, то не происходит взаимного уничтожения, связанного с быстрыми осцилляциями подынтегрального выражения. Следовательно, вклад от интегрирования по оставшейся части траектории экспоненциально мал по сравнению с вкладом от интегрирования в окрестности

Строгое математическое доказательство справедливости этого метода приведено в [2], где применяются термины «метод седловой точки» в случае, когда используется касательная в точке и «метод наискорейшего спуска», когда используется вся кривая Мы займемся здесь вычислением главного члена в асимптотическом разложении волны (26) для больших Поступим так же, как и при использовании метода стационарной фазы. Вначале разложим функции вблизи оставляя в первой члены порядка единицы, а во второй — порядка Тогда

как указывалось выше, интегрирование выполняется здесь вдоль касательной с значит комплексное число, равное где -малая величина. Далее заменим переменную интегрирования на действительную переменную по формуле

Так как велико, то пределы интегрирования по положим равными Тогда примет вид

где использованы формулы

Этим завершается вывод разложения вблизи седловой точки. Можно получить и весь асимптотический ряд по обратным степеням если удержать все члены в разложении около Детали такого разложения иллюстрируются в книге [2] на нескольких примерах.

В следующих двух разделах мы покажем, как используется этот метод при анализе конкретных задач о дисперсионном волновом движении. Если величина такова, что существуют действительные точки стационарной фазы, удовлетворяющие соотношению то решение (28) становится эквивалентным результату (21), полученному методом стационарной фазы. С другой стороны, и это — главное преимущество метода седловой точки, в случаях, когда в уравнении нет действительных корней, выражение (28) непосредственно дает экспоненциально убывающий сигнал, о котором уже упоминалось ранее. Это выражение нелегко было бы получить в явном виде из интеграла Фурье (20).