2б. Обратная задача рассеяния
Литература по обратной задаче рассеяния весьма обширна, и мы отсылаем читателя к работам [23—26], каждая из которых имеет прямое отношение к нашему рассмотрению 
Решение обратной задачи рассеяния сводится к решению линейного интегрального уравнения, так называемого уравнения Гельфанда — Левитана
где В — известная функция, рассматриваемая ниже; вид ее определяется некоторыми свойствами волновых функций. Заметим, что это — линейное интегральное уравнение относительно функции двух переменных К(х, у). Если уравнение Гельфанда — Левитана может быть разрешено относительно К(х,у), то потенциал и задается соотношением
Законченная постановка проблемы Гельфанда — Левитана требует детального определения ядра и неоднородного члена
где интеграл представляет собой вклад непрерывного спектра для оператора Шредингера, а сумма — вклад дискретного спектра
Более детально величины, входящие в (19) и (20), определяются следующим образом:
1) 
дискретные собственные значения, соответствующие собственным функциям, которые обращаются в нуль на бесконечности и квадратично интегрируемы. В квантовой механике дискретные собственные числа 
являются просто энергиями локализованных состояний (здесь и далее термин «собственное значение» будет использоваться как для 
так и для 
; смысл этого термина будет ясен в каждом конкретном случае);
2) 
нормировочные константы. Если собственная функция, соответствующая 
нормирована на единицу:
то 
определяется асимптотическим поведением функции 
3) 
-коэффициент отражения. Для непрерывного спектра волновая функция 
дается линейной комбинацией функций 
поскольку и обращается в нуль при 
Наложим условия
С точки зрения физики это означает, что величины справа соответствуют: плоской волне, падающей из бесконечности на область, где потенциал отличен от нуля; отраженной волне, характеризуемой 
(коэффициент отражения); прошедшей волне, характеризуемой коэффициентом прохождения 
. В частности,
Очевидно, что для решения обратной задачи рассеяния, т. е. определения и, величины 
должны быть известны. Однако для определения этих величин необходимо знать и. Чтобы выйти из этого порочного круга, нужно установить связь между обратной задачей рассеяния и уравнением КДВ.
