1а. Линейный осциллятор

Простейший осциллятор состоит из тела массой которое может двигаться в некотором направлении. Оно удерживается линейной пружиной с упругой постоянной К. Обозначим через у смещение массы относительно положения равновесия (фиг. 1.1). Тогда сила действующая на массу, равна производной по времени от импульса: Нижние индексы здесь и далее обозначают дифференцирование по независимым переменным.

Собственная частота осциллятора определяется выражением

Фиг. 1.1 Линейный осциллятор.

Тогда основное уравнение осциллятора имеет вид

а его общее решение

где постоянные. Введем переменную которую назовем фазой.

Решение (3) есть синусоидальная функция фазы, фаза же линейно зависит от времени.

В линейных задачах с решениями, синусоидальными по фазовой переменной, удобно вводить комплексную функцию, действительная часть которой дает интересующее нас решение. Тогда выражение (3) можно записать в виде

Обычно решение записывают в комплексной форме без выделения действительной части. Однако прежде чем вычислить энергию любого вида, необходимо взять действительную часть решения.

Кинетическая энергия осциллятора определяется выражением

Потенциальная энергия, запасенная в пружине, может быть записана в виде

Потенциальная энергия для невозмущенной системы всегда выбирается равной нулю. Полная энергия определяется суммой кинетической и потенциальной энергий:

Эта величина постоянна, и, следовательно, энергия сохраняется.

Обозначим через и V средние значения на протяжении периода, когда уменьшается на Средние значения каждой из функций равны Поэтому можно записать

Этот результат показывает, что в среднем энергия осциллятора наполовину кинетическая, наполовину потенциальная. Назовем это свойство равномерным распределением энергии. Если ввести лагранжиан то, очевидно,

Если осциллятор обладает затуханием, то кроме упругой силы имеется еще сила, действующая в направлении, противоположном скорости Простейшим является случай линейного затухания, когда тормозящая сила пропорциональна скорости. Определим параметр затухания так, чтобы сила сопротивления равнялась Тогда основное уравнение записывается следующим образом:

Его общее решение имеет вид

где

Эта запись справедлива при условии, что Мы не рассматриваем случай «сверхзатухания», когда

В данном случае полная энергия не постоянна, а убывает. Обладающая этим свойством система называется диссипативной. Грубо говоря, энергия убывает как точный закон несколько более сложен. Если то система называется слабо диссипативной. В этом случае частота очень близка к средние энергии и V еще могут быть разумно определены, и равномерное распределение энергии практически еще имеет место.