3. Переходные волновые процессы в средах с дисперсией

Распространение гармонических волн фактически не иллюстрирует полностью явление дисперсии. Как простые гармонические волны (5), так и квазигармонические волновые пакеты типа (8), составленные из конечного числа различных компонент, распространяются через среду без изменения формы. Это стационарные отклики на набор гармонических источников, которые были «включены» при так что переходный сигнал, обусловленный «включением», уже исчез к моменту наблюдения. С другой стороны, как будет показано в дальнейшем, суперпозиция бесконечного числа гармоник типа (9) связана с заданием начального негармонического возмущения при Для небольших интервалов времени это начальное распределение диспергирует, превращаясь в волновые пакеты (10), в то время как при больших временах [как уже отмечалось после формулы (10)] эти пакеты в свою очередь будут превращаться в более сложные группы колебаний с убывающей амплитудой.

В этом разделе мы более детально рассмотрим дисперсию произвольного начального распределения волн. В связи с этим мы обсудим также начальную задачу о волновом движении, генерируемом источником, который начинает действовать при в невозмущенной среде. Рассматривая случай гармонического во времени (при источника, мы покажем, как в действительности развивается стационарная волна вслед за нестационарным предвестником в среде с дисперсией. Методы, используемые здесь для анализа дисперсионных волновых задач, включают преобразование Фурье, преобразование Лапласа и комбинированный кинематико-энергетический подход, развитый Уиземом (см. гл. V). Преобразования Фурье и Лапласа приводят к интегральным представлениям решения, которое затем находится с помощью асимптотического метода стационарной фазы или метода «наискорейшего спуска»; с другой стороны, кинематико-энергетический подход позволяет получить, по существу, те же результаты непосредственно из двух простых уравнений сохранения.

3а. Преобразование Фурье и метод стационарной фазы

Рассмотрим распространение начального возмущения в среде с дисперсией, занимающей все пространство: Общее решение, описывающее произвольное волновое движение, может быть представлено в виде суперпозиции простых гармонических волн (5) со всеми возможными волновыми числами

где частота известная из дисперсионного соотношения для данной среды функция а амплитуды можно определить из начальных условий

Обозначим фурье-сопряженные начальному распределению функции через соответственно, где

[аналогичное выражение определяет Тогда начальные условия можно записать с помощью обратных преобразований Фурье:

Полагая в и сравнивая результат с (13а), получаем Аналогично, дифференцируя (11) по времени, полагая и используя (136), находим, что Следовательно,

что после подстановки в (11) завершает формальное решение задачи.

При дальнейшем обсуждении решения начальное значение принимается равным нулю, так что имеет вид

Если удовлетворяет волновому уравнению, то а интеграл (14) представляет собой сумму двух обратных преобразований Фурье от с аргументами соответственно. Следовательно,

что совпадает с известным решением (2) волнового уравнения, удовлетворяющим данным начальным условиям.

Если среда обладает дисперсией, то является нелинейной функцией при этом интеграл, приведенный выше, как правило, не может быть точно вычислен. Однако для больших значений времени можно получить асимптотическое приближение для используя метод стационарной фазы. Этот метод был развит Кельвином в 1887 г. как раз для интеграла вида (14); он позволяет детально описать структуру «полностью расплывшейся» волны.

Основная идея Кельвина заключается в том, что главный вклад, в интеграл дают малые интервалы вблизи таких значений для которых фазы экспонент постоянны. Когда велико, действительные и мнимые части экспонент являются быстро осциллирующими функциями везде, за исключением тех значений для которых фаза постоянна или почти постоянна, что и происходит вблизи стационарных точек. Действительно, в большей части области интегрирования, где гребни и впадины расположены близко друг к другу, положительный и отрицательный вклады в интеграл почти полностью взаимно компенсируются. С другой стороны, в областях, где фаза стационарна, колебания происходят гораздо медленнее и поэтому полный эффект гораздо более существен. С другой точки зрения, интеграл Фурье представляет собой суперпозицию бесконечного числа гармонических волн, составляющих в начальный момент времени функцию Через короткий промежуток времени эти волны изменяют свое положение относительно друг друга, так как каждая распространяется с собственной скоростью. Из физических соображений можно ожидать, что вначале большинство составляющих сохраняет еще взаимный сдвиг фаз настолько, чтобы воспроизвести движущийся волновой пакет, похожий на но по прошествии длительного времени фазы в большинстве точек становятся почти совершенно несвязанными. По существу, имеется одинаковое число волн, находящихся в фазе и противофазе друг с другом, так что их сумма близка к нулю. Повторим, однако, что существуют тем не менее исключения — при некоторых преобладают волны с близкими фазами, и они, складываясь, производят довольно существенное возмущение. Это и происходит в тех местах, где фазы экспонент стационарны.

Предыдущие эвристические аргументы могут быть подтверждены математически, поскольку было строго показано, что метод стационарной фазы дает главный член асимптотического разложения интегралов Фурье для больших (см., например, [2]). Далее мы кратко изложим способ получения главного члена в разложении обобщенного интеграла Фурье

для больших положительных значений Предположим, что амплитудная функция V конечна и дифференцируема на всем интервале интегрирования.

Вначале рассмотрим случай, когда точки стационарной фазы отсутствуют, т. е. для Интегрируя уравнение (15) по частям, получаем

где штрихи обозначают Абсолютное значение выражения в квадратных скобках конечно, следовательно, есть величина порядка Этот результат известен как лемма Римана. Он остается в силе, когда становятся бесконечно большими, как это имеет место в (14), если предположить, что не обращается в нуль ни при каких конечных значениях а также при Это означает, что является монотонно нарастающей или монотонно убывающей функцией, которая стремится соответственно к или к когда Однако в такой ситуации становится много меньше, чем это можно показать с помощью замены переменной интегрирования в (15) на где Тогда получим

где функция конечна для действительных причем когда (чтобы интеграл сходился). Согласно лемме Жордана и формуле Коши, функция может быть найдена как сумма вычетов, взятых в полюсах функции лежащих в верхней полуплоскости комплексной -плоскости, плюс сумма интегралов вдоль линий разреза, которые идут от точек ветвления в верхней полуплоскости. Далее, при основной вклад дает сингулярность, ближайшая к действительной оси интегрирования; обозначим эту точку Если эта сингулярность представляет собой простой полюс, то определяется выражением

Если точка ветвления с где функция аналитична в точке то интеграл по берегам разреза сводится к

Таким образом, в любом случае порядка Более детальное обсуждение этих вопросов можно найти в книге Карриера, Крука и Пирсона [3].

Рассмотрим теперь интеграл (15) для случая, когда при некотором где Разобьем интервал интегрирования на три участка следующим образом: от —а до от до и от до где постоянная выбирается малой по сравнению с но достаточно большой для чтобы была Тогда из леммы Вимана следует, что вклад в интеграл от первого и третьего участков интегрирования есть т. е.

где

Интеграл можно вычислить для больших разлагая вблизи Тогда получим следующее асимптотическое приближение:

где разность заменена на и мы полагаем Напомним, что Далее, обозначая и заменяя на в пределах интегрирования по получаем

так как

Знаки относятся к соответственно.

Выражение (18) и определяет вклад, связанный со стационарной фазой. Заметим, что эта величина имеет порядок значит, является главным членом в асимптотическом разложении для больших Можно строго показать, что ошибки, появляющиеся при выводе формулы (18) из (17) путем замены V на на и замены пределов интегрирования по на оказываются порядка

На основании предшествующего анализа ясно, что если в нескольких точках интервала интегрирования, то вклад от каждой из точек стационарной фазы имеет вид (18). Далее, если точка стационарной фазы совпадает с одним из пределов интегрирования, то соответствующий вклад равен половине выражения (18). Наконец, когда в точке величина также равна нулю, то приведенный выше анализ неприменим и выражением (18) пользоваться нельзя. Детали получения асимптотического решения в этом случае будут вкратце приведены ниже применительно к волновому решению (14).

Применим сначала полученные выше результаты к примеру из разд. 2, в котором рассматривалась суперпозиция бесконечного числа гармонических волн со средним значением" волнового числа [(см. (9)]. Для небольших значений времени, когда величина мала, в результате получается набор волновых пакетов (10). Однако для того, чтобы определить при больших необходимо использовать метод стационарной фазы. Стационарным точкам соответствуют значения удовлетворяющие уравнению

или, что то же самое,

Итак, мы показали, что главный волновой пакет расположен вблизи точки где (фиг. II. I). Действительно, отсюда для имеем что попадает в область интегрирования (9). Поэтому асимптотическое значение интеграла (9) имеет вид

где использовано соотношение так что знаки относятся к соответственно.

Интересно сравнить результат, полученный выше для больших с выражением (10), полученным ранее для умеренных значений Волна с волновым числом и частотой все еще является доминирующим возмущением, однако ее амплитуда теперь убывает пропорционально а фаза сдвигается на Более того, если взять вместо то при точки стационарной фазы будут еще находиться внутри интервала интегрирования (между причем ясно, что с ростом соответствующая величина становится большой. Другими словами, по прошествии значительного времени точка стационарной фазы существует для любого

фиксированного значения так как уравнение будет иметь корень близкий к Таким образом, в конце концов волновые пакеты (10) полностью исчезнут, а на их месте будет наблюдаться волна (19) с почти постоянным волновым числом и постоянной частотой Тем не менее для любого фиксированного сколь угодно большого, выражение (19) все еще описывает конечную группу колебаний, расположенную от до Для значений лежащих вне этого интервала, выражение (9) не имеет точек стационарной фазы, поэтому в них порядка

Аналогично можно интерпретировать поведение при больших общего решения (14) для волны с произвольным начальным возмущением имеющим фурье-образ Вначале отметим, что поскольку функция действительна, то следует, что Более того, в отсутствие диссипации действительная функция тогда, замечая, что действительна, и рассматривая выражение, комплексно сопряженное (14), мы видим, что должна быть либо четной, либо нечетной функцией Отсюда следует, что уравнение (14) можно переписать в виде

где -четная функция, означает действительную часть.

В выражении (20) примем обозначим и предположим, что

при Допустим также, что С положительна для положительных (случай отрицательной групповой скорости обсуждается ниже). Тогда для первой экспоненты точка стационарной фазы расположена при в то время как для второй компоненты такая точка вообще отсутствует. Таким образом, в любом случае метод стационарной фазы приводит к выражению

где, как и ранее, знаки относятся к Со соответственно.

Формула (21) выражает замечательный результат. Он заключается в том, что волна любой начальной формы в конечном счете превращается в квазигармоническую волну, у которой волновое число и частота зависят от отношения Амплитуда этой волны также зависит от и затухает пропорционально Однако вблизи данного значения и при

фиксированном значении времени величины и амплитудный множитель можно считать постоянными. В этом можно убедиться, дифференцируя любую из этих функций по например

Следовательно, эти величины не изменяются существенно на расстояниях, малых по сравнению с

Вообще говоря, решение (21), полученное с помощью метода стационарной фазы, не описывает четко очерченных волновых пакетов, которые обсуждались в разд. 2. Тем не менее для удобства интерпретации решения (21) можно произвольно определить группу волн как число гребней, расположенных на интервале от до Длина интервала должна быть достаточно большой, чтобы включать по крайней мере несколько максимумов, но она должна быть мала по сравнению с Тогда на основании (22) можно утверждать, что такая группа состоит, по существу, из однородных гармонических волн. Как и прежде, группа движется с групповой скоростью Со, а гребни — со скоростью Через время амплитуда группы уменьшается на множитель Если бы наблюдатель попытался проследовать за определенным гребнем с его фазовой скоростью, то он вскоре покинул бы данную группу и обнаружил бы, что следит за волнами с другими волновым числом, частотой и амплитудой. С другой стороны, если бы он перемещался со скоростью Со, то продолжал бы наблюдать волну (21); значит, фиксированные значения частоты и волнового числа будут распространяться с груповой скоростью . В гл. V, разд. 2, показано, что энергия, связанная с волной (21), также распространяется с групповой скоростью.

Первоначально профиль волны представляет собой линейную комбинацию гармонических волн со всеми волновыми числами. Волна с волновым числом имеющая амплитуду при ничуть не важнее других волн, особенно если функция постоянна или близка к постоянной. Однако спустя большой промежуток времени эта волна оказывается доминирующим возмущением в точке Согласно (21), ее амплитуда изменяется, а фаза сдвигается. Но главное заключается в том, что точное значение групповой скорости волны с волновым числом Значит, эта волна, рассматриваемая как бесконечно длинная группа колебаний, двигаясь с групповой скоростью, начиная с момента всегда будет находиться в точке Отсюда также следует, что не существует гармонического возмущения, которое могло бы двигаться быстрее, чем с максимальным значением групповой скорости, допускаемым

данным дисперсионным соотношением. Сигнал впереди точки Смаке либо тождественно равен нулю, либо экспоненциально мал.

Специального обсуждения требуют точки с максимальной или минимальной групповой скоростью (каустика); в этих точках как уже упоминалось ранее, в такой ситуации решение (21), получаемое с помощью метода стационарной фазы, становится некорректным. Допустим, что С имеет максимум См в точке Значит, по крайней мере вблизи нет точек стационарной фазы, в которых . Разложим опять фазовую функцию около точки чтобы оценить асимптотическое поведение интеграла (20), но теперь мы должны учесть кубический член. Кроме того, чтобы определить характер решения при близких к а также при положим См так что

а величина мала. Тогда получим

Здесь учтено, что и

Проведя дальнейший анализ так же, как и выше, мы придем к следующему результату:

где разность заменена на Далее сделаем подстановку

и положим в пределах интегрирования по Тогда получим

где -функция Эйри, которая определяется интегральным представлением

Напомним, что мы полагали Если же исследуется точка, где С минимальна, то и аргумент функции Эйри (24)

становится отрицательным. В остальном результат остается тот же.

Функция Эйри хорошо известна в прикладной математике (см., например, [4]) Для положительного аргумента она ведет себя как экспоненциально убывающая функция, а при отрицательных значениях аргумента осциллирует. Эти свойства выражаются следующими асимптотическими формулами:

где . В начале координат

таким образом, в окрестности точки возмущения имеют порядок что превышает вклад обычных точек стационарной фазы. Такие возмущения иногда называют «волнами Эйри».

Для значений из (25а) следует, что возмущения должны быть экспоненциально малы; это согласуется с предыдущим результатом для случая, когда в выражении (20) отсутствуют точки стационарной фазы. С другой стороны, для функция Эйри в (24) имеет вид косинуса (256) и описывает волну, движущуюся со скоростью и с волновым числом, пропорциональным . В этом можно убедиться, если подставить величину 6, определяемую выражением (23), в формулу (24). Другими словами, функция Эйри описывает медленно осциллирующую амплитудную модуляцию волны (24), которая движется со скоростью . Это аналогично случаю, когда две волны, складываясь, формируют стоксовы волновые пакеты (8), что фактически и происходит, так как в окрестности имеются две близкие точки стационарной фазы, соответствующие значениям меньшим, чем максимальная групповая скорость , а значит, существуют две волны вида (21) с волновыми числами, мало отличающимися от которые должны налагаться друг на друга.

Фактические волны Эйри можно строго связать с асимптотическим решением для возмущений непосредственно впереди или сзади них. связь будет проиллюстрирована на специальном примере в Однако сначала мы обсудим метод преобразования Лапласа, позволяющий анализировать переходные, волновые процессы в средах с дисперсией.