4. Кинематико-энергетическое описание волн в системах с дисперсией

Как теперь ясно, вне зависимости от того, задано ли начальное возмущение или изменение во времени функции источника, главной характерной особенностью последующего волнового движения будет существование квазипериодической волны. Более того, группа, состоящая из гребней с одинаковыми или почти одинаковыми волновыми числами, будет распространяться с групповой скоростью, соответствующей этому волновому числу. Итак, мы снова видим, что остается постоянным в точках, определяемых соотношением Математически это выражается так:

или, в более компактной записи,

Уравнение (41) имеет другую интересную интерпретацию. На участке длиной расположено гребней. На этот участок приходит а уходит гребней в единицу времени. Следовательно, в отсутствие источника (или стока), который может порождать (или уничтожать) гребнй, должно выполняться уравнение баланса для скорости изменения числа гребней

Но зависимость от может быть выражена через зависимость к от с помощью дисперсионного соотношения, а именно поэтому уравнения (41) и (42) эквивалентны. Итак, если исходить из решения для больших в виде квазигармонической

волны

где фазовая постоянная, то, пользуясь «законом сохранения гребней» (42), мы приходим к кинематическому толкованию групповой скорости. Значение А для данных сразу определяется из уравнения а затем вычисляется из дисперсионного соотношения.

Амплитуда волны (43) может быть определена из второго закона сохранения — закона сохранения энергии. Пусть энергия на участке от до равна

Будем считать, что в точке находятся волны с волновым числом Тогда в точке будут находиться волны с волновым числом где Можно показать, что первоначально энергия, содержащаяся в волнах волновыми числами от до была равна

где -пространственный спектр (фурье-компонента) начального профиля волны Таким образом, если использовать тот результат (полученный ниже в гл. V), что энергия распространяется с групповой скоростью, то два приведенных выше выражения для должны быть эквивалентны и мы получим

Комбинируя формулы (41), (43) и (44), получаем окончательный «кинематико-энергетический» результат

где функция определяемая уравнением За исключением того факта, что фаза произвольна, это выражение совпадает с результатом, полученным с помощью метода стационарной фазы. Таким образом, основные результаты, относящиеся к дисперсионному волновому движению, можно получить, не прибегая к сложному асимптотическому разложению решения, представленного в виде интеграла Фурье.

С другой стороны, так как исходным пунктом кинематического приближения является гармоническая волна (43), то оно

не может быть использовано для описания решения на каустиках, или «волновых фронтах». Трудность заключается в том, что на каустике гармоническая волна быстро меняет свою форму на относительно коротком интервале точно так же, как и в пограничном слое. Например, волны Эйри осуществляют переход от периодического движения к экспоненциально затухающему предвестнику, а впереди резкого фронта движение вообще отсутствует.

Имеется, однако, возможность избежать непосредственного обращения к интегралу Фурье при определении решения на фронте волны. Здесь напрашивается идея о решении такого же типа, как для пограничного слоя, которое затем можно связать с регулярным решением (43) и таким образом определить все неизвестные постоянные.

С. Лейбович (частное сообщение) предложил следующий метод возмущений, позволяющий найти волну Эйри в решении уравнения Лява (или Буссинеска), которое было рассмотрено выше в

Кинематико-энергетическая теория дает и полученное ранее решение (30) при Однако фаза заменяется на произвольную фазу При это решение теряет силу (заметим, что фазовый угол остается неопределенным). Для т.е. при необходимо найти другое решение, которое сшивалось бы с решениями в областях

Наше решение должно быть справедливо для . Поэтому введем параметр характеризующий масштаб величин и новую временную координату

На каустике разность мала по сравнению с по отдельности (т.е. по сравнению с выразим это формально введением координаты «пограничного слоя»

Тогда в переходной области координата имеет порядок и величина должна быть выбрана так, чтобы она была порядка единицы, откуда следует, что . С учетом этих предварительных соображений уравнение (4) принимает следующий вид:

Чтобы описать детальную структуру фронта волны (30), положим в этом уравнении зафиксировав сначала в интервале таким образом, чтобы нашелся пр крайней мере еще один член, компенсирующий Это оказывается

возможным, только когда и в результате получим

Кроме того, должна стремиться к нулю при так как перед точкой периодические волны отсутствуют. Тогда после разделения переменных и суперпозиции решений с различными константами разделения можно получить следующее решение предыдущего уравнения:

где неизвестный коэффициент, который должен быть найден путем сшивания. Попробуем выбрать так, что

Выражая X через исходные переменные, получаем

Основной член разложения этого выражения в ряд при фиксированной разности имеет для следующий вид»

где, как и прежде, Это выражение необходимо сшить с кинематико-энергетическим выражением (43), которое для даной задачи принимает вид

Заметим, что в переменных имеем Если подставить это равенство в кинематико-энергетическое решение, разложить его в ряд для малых оставив только один ведущий член, и, наконец, вернуться к переменным то мы обнаружим, что результирующее выражение совпадает с приведенным выше результатом разложения решения для пограничного слоя.

если только Это и есть сшивка в смысле согласованных асимптотических разложений [9]; она дает возможность определить недостающий в кинематико-энергетическом решении фазовый угол; кроме того, это обеспечивает разумный переход через каустику.