2в. Уравнение КДВ и обратная задача рассеяния

Важнейшая связь между обратной задачей рассеяния и проблемой КДВ дается параметрической зависимостью потенциала и от Эта зависимость от описывается решением уравнения КДВ. Величины также должны зависеть от Чтобы изучить эту зависимость, мы получим уравнение, описывающее эволюцию и выразив и с помощью (16) и подставив полученное выражение в уравнение КДВ. В результате (после умножения на имеем

где

Теорема 2. Рассмотрим задачу на собственные значения

Если и удовлетворяет уравнению КДВ и достаточно быстро обращается в нуль при то дискретные собственные значения постоянны.

Доказательство. Для некоторого собственного значения соответствующая собственная функция обращается в нуль при поэтому интегрирование уравнения (25) в бесконечных пределах приводит к условию

которое с учетом (21) дает (Этот результат доказывается в гл. XI методом, который может быть обобщен на другие уравнения, отличные от уравнения КДВ.)

Важность этого результата очевидна: дискретные собственные значения могут быть вычислены по начальным данным для уравнения КДВ и они будут оставаться собственными значениями в процессе всей эволюции решения. непрерывного спектра (иными словами, для положительных значении можно считать постоянной, поэтому уравнение (25) может быть проинтегрировано дважды, что дает

где «константы» интегрирования, вообще говоря зависящие от Дополнительная функция является решением, линейно независимым от и задается соотношением

Для завершения постановки обратной задачи рассеяния определим оставшиеся величины.

Теорема 3. Если при функция и обращается в нуль достаточно быстро, то

и

где определяются из начальных условий для уравнения КДВ.

Доказательство. Если собственная функция, то возрастает экспонециально при Поэтому Умножение (26) на и интегрирование по неограниченному интервалу дают

В силу условия нормировки . Для функция удовлетворяет (22), поэтому (26) приводит к уравнению

решение которого имеет вид (27).

Для непрерывного спектра рассмотрим падающую из плоскую волну и изучим поведение при Подставляя (24) в (26), получаем

поскольку то

При функция удовлетворяет соотношению (23), а обращение в нуль коэффициентов при линейно независимых функциях в (26) означает, что

Это и приводит к выражениям (28) и (29).