5. Задача Римана
Рассмотрим однородную гиперболическую систему с одной пространственной переменной
при начальных условиях
где 
и 
постоянные векторы.
Изучение такой задачи с начальными условиями, которая называется задачей Римана, проясняет понятие истинной нелинейности. Кроме того, ее решение служит «строительным блоком» при построении решений системы (38), соответствующих более общим начальным условиям. Очевидно, если 
является (обобщенным) решением задачи (38), (39), а а— произвольная положительная константа, то функция 
также решение. Если предположить, что имеется единственное «истинное» решение и что его «истинность» сохраняется при любом однородном растяжении масштабов координат (без отражений), то отсюда следует, что и 
иными словами, 
есть функция единственной переменной 
Решение задачи Римана для уравнения (23) дано в 
«Истинное» решение состоит из двух состояний покоя,
соединенных либо разрывом [в случае начальных условий (26)], либо центрированной простой волной [в случае начальных условий (28)]. Легко видеть, что решения такого же типа имеет задача Римана для более общего уравнения (15) при строго выпуклой или строго вогнутой 
Понятие центрированной простой волны можно расширить на общие системы вида (38); при этом было получено следующее обобщение предыдущего результата: если система 
уравнений (38) истинно нелинейна, а состояние 
гаточно близко к 
то решение задачи Римана существует и состоит из 
состояний покоя, соединенных либо простыми волнами, либо «истинными» разрывами [8]. Для системы двух уравнений требование близости состояний 
не является необходимым [11].
Для систем, не являющихся истинно нелинейными, задача более сложна и имеются только частные результаты. Для уравнения (15) задача Римана решена без предположений о выпуклости функции 
причем решение вновь состоит из двух состояний покоя, теперь, однако, соединенных ударным «веером» (последовательностью смежных разрывов и простых волн). Недавно были найдены аналогичные решения задачи Римана для системы (17) без каких-либо предположений о выпуклости [12], а также для системы уравнений газовой динамики [13].
