2. Линейные волны, распространяющиеся без затухания

Рассмотрим далее общие свойства волн, распространяющихся в одномерном пространстве. В этом случае независимыми переменными являются их. Волновая система может описываться одной или более зависимыми переменными; рассмотрим пока одну переменную и обозначим ее у. Нелинейность или сильная диссипация сразу же нарушает простые общие свойства, перечисленные выше. Влияние слабой диссипации можно учесть с помощью множителя в амплитудах или в энергиях; мы обсудим это позже. Таким образом, здесь мы ограничимся случаем распространения линейных недиссипативных волн. Конкретные физические примеры обсуждаются в п. 4. Здесь будут рассмотрены некоторые характерные черты, присущие всем ли нейным недиссипативным волновым системам.

2а. Фаза и фазовая скорость

После сказанного выше естественно рассмотреть волновое изменение некоторой зависимой переменной в виде, аналогичном формуле (5):

где фаза. Последняя линейна по независимым переменным, т. е.

Здесь просто переписано выражение (9). Фаза будет оставаться постоянной для наблюдателя, который движется со скоростью

Эта фазовая скорость определяет скорость индивидуального гребня впадины или узла волны, описываемой функцией здесь — произвольное целое число. Действительно,

если определяется выражением (12).

2б. Дисперсия

По аналогии со свойством 2 линейных осцилляторов для распространяющихся волн существует функциональное соотношение связывающее частоту и волновое число. Обычно это соотношение имеет вид зависимости частоты от волнового вектора

Тогда фазовая скорость с также зависит от волнового числа:

Особый интерес представляет специальный случай, когда величина постоянна, т. е. фазовая скорость не зависит от волнового числа (или от частоты). В этом случае говорят о волне без дисперсии, и функция имеет простой вид:

Если фазовая скорость не постоянна, то говорят, что распространяющаяся волна обладает дисперсией. Соотношение типа (13) обычно называется дисперсионным соотношением (уравнением) или, в определенном контексте, уравнением эйконала.

При бездисперсионном распространении волны свойство синусоидальности, аналогичное свойству 1 линейных осцилляторов, становится несущественным. Предположим, что все волны движутся с фазовой скоростью с, и пусть задано распределение при Если это начальное распределение не синусоидально, то его можно представить с помощью интеграла Фурье как суперпозицию синусоидальных функций. Поскольку система предполагается линейной, каждая из этих синусоидальных компонент изменяется в соответствии с уравнениями (10) и (11), а их частота определяется выражением (14). Полное решение в любой последующий момент времени может быть получено путем обратного преобразования Фурье.

В бездисперсионном случае этот процесс вновь приводит к начальному распределению, смещенному на расстояние Иными словами, решение можно выразить в виде

Другая интерпретация заключается в том, что синусоидальное решение может быть заменено более общим выражением

т. е. произвольной функцией фазы, определяемой с помощью некоторых «опорных» значений и Величину можно рассматривать как фазу, соответствующую параметрам Здесь фаза важна только как независимая переменная, через которую выражается сигнал неизменной формы.

Если же волна распространяется с дисперсией, то приведенные рассуждения теряют силу. В этом случае каждая компонента Фурье распространяется со своей скоростью.