Глава VII. Взаимодействие волн

Оуэн М. Филлипс

В природе волновые движения часто возникают не в виде отдельной периодической или почти периодической волны, а в гораздо менее регулярной форме. Хорошо известный пример — волны в океане, нерегулярность которых обусловлена их возбуждением сразу на большой площади, а также неустойчивостями, присущими волновым движениям. Все же в подобных случаях можно с известным основанием считать, что отдельная фурье-компонента возмущения распространяется по поверхности воды, взаимодействуя с другими компонентами волны (и в том числе воздействуя сама на себя). Природа взаимодействий между отдельными компонентами волны (эти взаимодействия и составляют основной предмет данной главы) может быть существенно различной. Основные идеи, на которых основано описание взаимодействий, совсем просты, и их легче всего понять, если рассмотреть общие свойства волн в средах с дисперсией. Конкретные детали будут рассматриваться применительно к волнам на воде, однако следует помнить, что сами методы являются достаточно общими и применимы также для других задач.

Рассмотрим функцию характеризующую некоторое свойство движения, например смещение элемента жидкости от состояния равновесия или изменение давления в жидости. Тогда для многих типов волновых процессов (например, звуковых волн малой амплитуды) справедливо классическое линейное волновое уравнение

где с — скорость звука. Это уравнение имеет элементарные решения типа

описывающие распространение гармонической волны с постоянной скоростью с, не зависящей от длины волны. Разумеется, эти волны не обладают дисперсией, однако большинство волн,

с которыми мы встречаемся в сплошных средах, не удовлетворяет классическому волновому уравнению, и их фазовая скорость может зависеть от волнового числа. В общем случае уравнение для бесконечно малых возмущений имеет вид

где — линейный оператор, содержащий производные по координатам и времени. Вид этого оператора определяется конкретным типом рассматриваемого волнового процесса. Например, в гл. IV, разд. 4, рассматривались поверхностные волны бесконечно малой амплитуды, для которых граничное условие на поверхности приводит к уравнению

где потенциал скорости. Другой пример — внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости с постоянной частотой Брента — Вяйсяля (см. гл. X, разд. 1), для которых

где вертикальная скорость жидкого элемента, оператор Лапласа по горизонтальной координате. Эти линейные уравнения также допускают решения вида

при условии, что и к удовлетворяют дисперсионному соотношению, которое характеризует тип волнового процесса.

Для гравитационных волн на поверхности глубокой воды дисперсионное соотношение имеет вид

а для внутренних гравитационных волн, описываемых уравнением (2),

где угол между волновым вектором и горизонтальным направлением.

Решения, получаемые для волн бесконечно малой амплитуды, во многих реальных случаях являются хорошим первым приближением; самый факт их полезности означает, что в этих случаях взаимодействия и другие нелинейные эффекты оказываются слабыми. В истории механики сплошных сред, вероятно, именно исследование поверхностных волн на воде дало первый пример хорошего совпадения результатов теории с данными наблюдений. Однако все уравнения типа (1) в гидродинамике представляют собой лишь приближение по отношению

к исходным нелинейным уравнениям, в которых нелинейные члены считаются в определенном смысле малыми. Можно ожидать, что эффекты взаимодействия воли, которые все же возникнут из-за присутствия этих нелинейных членов, будут в большинстве случаев слабыми. Это означает, что для описания таких эффектов можно использовать уравнение вида

где -некоторый нелинейный оператор, точный вид которого определяется конкретной волновой системой, некоторый малый параметр, характеризующий амплитуду волны. Из эвристических соображений ясно, что решения такого уравнения можно получить с помощью метода последовательных приближений, сводящегося, по существу, к разложению в ряд по степеням Первое приближение дается линейным решением; оно подставляется в правую часть, и решение полученного уравнения даст поправку второго приближения и т. д. Ниже мы уточним эту схему.