Глава III. Квазилинейные гиперболические системы, вытекающие из законов сохранения
Константин Н. Дафермос
Теория сплошных сред основывается на системе законов сохранения и системе определяющих уравнений. Первые отражают физическую природу процесса (например, механическую, термодинамическую, электромагнитную), тогда как вторые характеризуют свойства среды (например, упругое твердое тело, вязкая жидкость). Законы сохранения первоначально возникают в интегральной форме, так как прямой физический смысл имеет функция множества, а не точки. Однако в классе гладких функций интегральная форма эквивалентна дифференциальным уравнениям поля. При определенных исходных предположениях эта система уравнений поля является гиперболической.
Отличительным свойством гиперболических систем является существование особых поверхностей в пространстве-времени, которые в физических приложениях проявляют себя как распространяющиеся волны. Изучение последующих глав этой книги показывает, что гиперболические системы уравнений поля никоим образом не охватывают всех волновых явлений, существующих в природе. Вместе с тем в широком классе задач, которые не описываются гиперболическими уравнениями поля, но допускают волновые явления, уравнения для некоторых усредненных величин, например для «энергии», оказываются гиперболическими. Следовательно, гиперболические системы уравнений имеют фундаментальное значение при изучении распространения волн (см., например, гл. V).
Геометрические свойства решений гиперболических систем были изучены давно, и соответствующая теория достаточно полна. С другой стороны, аналитическое исследование проблемы встретило серьезные трудности и еще находится в стадии развития. Главный источник этих трудностей связан со следующим специфическим свойством нелинейных гиперболических систем: в общем случае задача с начальными условиями не имеет решения, даже если эти условия достаточно гладкие. Необходимо расширить понятие решения, включив в него обобщенные решения — разрывные поля, которые удовлетворяют законам сохранения
в их первоначальной интегральной форме. Но поскольку класс решений расширен, теряется единственность, и приходится применять специальные критерии, чтобы выделить истинные решения. В связи с этим важную роль играют понятия «энтропия» и «необратимость», возникшие в термодинамике.
Нашей целью является не изложение общей теории гиперболических систем, а лишь введение в этот предмет для студентов, интересующихся им в связи с приложениями к теории нелинейного распространения волн. Поэтому выделены только те стороны теории, которые имеют применение в физике сплошных сред; при этом мы избегаем пользоваться специализированным языком, который применяют математики.
