3а. Волны бесконечно малой амплитуды

Предположим, что свободная поверхность испытывает очень небольшое возмущение, т. е.

причем Отсюда очевидно, что следовательно, удобно положить Любую гидродинамическую переменную (скажем, на свободной поверхности можно представить в виде разложения в ряд Тейлора около ее значения на невозмущенной свободной поверхности невозмущенные значения обозначим индексом 0. Таким образом,

Разделив уравнение (41) на получим уравнение для потенциала

а кинематическое условие и условие для давления записываются соответственно в виде

и

Волны бесконечно малой амплитуды описываются ура вне ниями, которые получаются из уравнений (42), (45) и (46), если

в них положить Эти уравнения записываются следующим образом:

Разделяя в этнх уравнениях переменные и записывая в виде получаем следующее решение:

где произвольная (комплексная) константа, удовлетворяющая уравнению

Решение существует, только если детерминант, составленный элементов матрицы, равен нулю, что приводит к дисперсионному соотношению

Следовательно, волны на воде обладают дисперсией.