Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Нелинейные уравнения, связанные с линейными операторамиИзвестно, что спектр оператора Штурма — Лиувилля
не определяет потенциала и единственным образом, Мы начнем с незначительной части этой задачи: найдем такие однопараметрические семейства потенциалов
не зависит от
Однопараметрическое семейство унитарных операторов удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
где
Выполняя над (4) операцию сопряжения, получаем
Подставляя (4) и (6) в (3), после умножения на
В нашем случае, когда мы либо накладываем периодические граничные условия, либо имеем дело с функциями на всей оси
Итак, чтобы решить уравнение (7), мы должны отыскать такие антисимметричные операторы В, коммутатор которых с
При периодических граничных условиях операторы
Уравнение (7) принимает вид
и мы заключаем из общего результата (7), что
где
Очевидно, выбор
обращает в нуль коэффициенты при
то операторы Можно обобщить этот процесс и выбрать в качестве В любой оператор
Заметим, что оператор Оператор
то операторы Описанная здесь процедура имеет весьма общее значение. Например, если мы заменим скалярный оператор (1) оператором в виде матрицы второго порядка, где потенциал и дается симметричной матрицей
тогда, выбирая В в виде
при
получаем
где
Следовательно, наша общая теорема показывает, что если изменения
то операторы До сих пор этот метод не распространялся на операторы Теперь мы вернемся к оператору
являются инвариантными функционалами, так называемыми интегралами дифференциальных уравнений (11). Для простейшего и наиболее важного из них уравнения Существует несколько причин, по которым мы заинтересованы в нахождении всех интегралов эволюционного уравнения. Во-первых, эти интегралы являются сохраняющимися величинами и, следовательно, могут иметь непосредственный физический смысл. Полная масса, момент импульса, ловой момент, энергия и заряд — прекрасные примеры физически важных сохраняющихся величин. Во-вторых, сохраняющиеся величины являются важным инструментом в руках математиков. Они позволяют получать априорные оценки, которые лежат в основании любой теоремы существования (за исключением тех случаев, когда решение может быть записано в явном виде). Например, теория существования решений для гиперболических уравнений может быть основана исключительно на законе сохранения энергии. Следовательно, целесообразно попытаться вывести априорные оценки и из других интегралов. Здесь мы покажем на примере уравнения (10), что, зная величины интегралов (13), можно получить интересную информацию о поведении решения и при больших
полученному Кортевегом и де Вризом при описании поверхностных волн на воде (см. гл. IV). Известно, что это уравнение имеет решение в виде уединенной волны, т. е. Забуский и Крускал [2] сделали замечательное открытие: все решения уравнения Кортевега — де Вриза
Смысл (15) заключается в том, что для больших Скорости Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1] показали, что эти инвариантные функционалы, по существу, совпадают с теми, которые были найдены выше (13):
Мы представим простое доказательство одной части этого утверждения [3], а именно: если с, удовлетворяют (15), то Прежде всего покажем, что
выполняется при
приближенно выполняется на этом интервале при
Вне этого интервала левая и правая части (16) малы и быстро стремятся к нулю. Следовательно,
где
Поскольку мы уже показали, что спектр оператора В этом доказательстве мало использовались конкретные особенности уравнения (14). Другой ряд инвариантных функционалов для (14) может быть построен из бесконечного ряда законов сохранения, которые могут быть выведены из (14). Они описаны в работе Миуры и др. [4]. Та же замена переменных, которая переводит (10) в (14), а оператор (1) в
превращает оператор В в
Данный вывод можно использовать, чтобы выяснить более приемлемым путем, чем в гл. VIII, как собственные функции оператора
Поскольку
Умножая на
получаем соотношение
которое показывает, что собственные функции
В нашем случае, когда В определяется выражением (19), отсюда следует, что
Теперь
Дифференцируя это уравнение по
т. е. для На бесконечном интервале
Мы уже видели, что правильные собственные функции Лемма 1. Пусть
которое при
Тогда
для всех Доказательство. Определим
Тогда уравнение (24) можно переписать в виде
где В определяется из (19). Вычислим теперь
Используя тождество (7), в соответствии с которым
Это уравнение можно переписать в виде
Так как по предположению Известно, что если и достаточно быстро стремится к нулю при
Величина Как меняется со временем асимптотическое поведение
и пренебречь и
отсюда следует
Учитывая начальные значения (27) для
при любом
Это асимптотическое представление
Дальнейшие детали могут быть найдены в работе Лэкса [5]. Впервые этот результат был получен Гарднером и др. [1]. Анализ, проведенный в гл. VIII, показывает, что для решения начальной задачи уравнения Кортевега — де Вриза (14) можно использовать следующий метод, основанный на соотношении (28). Задавая начальное значение Предположим, что и подчиняется линейному эволюционному уравнению
Пусть
Тогда линейный функционал
Проведенный анализ дает семейство нелинейных функционалов
|
1 |
Оглавление
|