3в. Достаточные условия устойчивости

В безразмерных переменных

где V — некоторая эталонная скорость, эталонная плотность, можнс записать уравнение (57) в виде (опуская крышки у переменных)

где штрихи обозначают дифференцирование по безразмерной переменной Условимся, что непрерывная функция, а верхняя граница фиксирована. Следовательно, граничные условия таковы:

Система, состоящая из [64] и [65], приводит к (комплексному) секулярному уравнению

Когда исключена из двух действительных уравнений, из которых состоит (66), имеем уравнение

которое определяет кривую нейтральной (безразличной) устойчивости. Возможно, однако, что с — действительная величина для всех значений и в этом случае на плоскости вообще нет кривой нейтральной устойчивости или границы устойчивости.

В этом пункте мы предположим, что непрерывные и аналитические функции, и всюду Прежде всего отметим, что для данных согласно теореме Майлса, течение устойчиво при достаточно больших так как всегда можно найти такое чтобы выполнялось (59). Если для некоторого значения течение неустойчиво, то с увеличением будет достигнуто значение для которого с, обращается в нуль. При таком величина с (или должна лежать внутри полукруга диаметром так как она достигается через неустойчивые состояния которые должны лежать внутри полукруга диаметром согласно теореме Хауарда о полукруге. Тогда на границе устойчивости (где с впервые становится действительной величиной) уравнение (57) имеет особенность, и мы назовем соответствующую моду особой нейтральной модой (OHM).

Проведенное здесь рассуждение показывает, что течение не может быть неустойчивым, если нет особых нейтральных мод. Поэтому для того, чтобы найти достаточные условия устойчивости, достаточно найти условия, при которых не существуют

Предположим, что -монотонная функция у. Майлс [21] показал, что особые нейтральные моды невозможны, если число Ричардсона везде больше чем . В его доказательстве фактически установлено, что при где невозможна. Можно показать [23], что также невозможна. В этом случае два корня уравнения (57), которое имеет «регулярную» особенность при равны, и для построения доказательства в таком особом случае необходимо лишь использовать решения, одно из которых содержит члены с множителем Если это последнее решение имеется, скачок напряжения Рейнольдса делает невозможной особую нейтральную моду. Если же оно отсутствует, то пригодно прежнее доказательство для Мы не будем приводить деталей этого доказательства, а вместо этого разберем подробнее случай

Для этого случая Майлс [21] привел решения (64) в виде

где

Майлс показал также, что при решением для ОНМ, если оно существует, должно быть либо либо Мы можем проиллюстрировать наш ход рассуждений, показав невозможность решения Доказательство невозможности проводится аналогично.

Прежде всего отметим, что для ОНМ, которая является границей устойчивости, значение с (или будучи пределом при не может совпадать с а или поскольку это верно для сколь угодно малого ненулевого в силу того, что -строгое неравенство (никогда не обращающееся в равенство). Следовательно, для нахождения достаточных условий устойчивости требуется лишь установить невозможность ОНМ при где для исключены предельные значения и 1. Для выполнения граничных условий требуется, чтобы обращались в нуль

при и Возможность или невозможность OHM зависит от нулей функции которую для краткости будем обозначать Это приводит нас к рассмотрению уравнения для которое можно получить из (64) и (67):

где

с безразмерными теперь

Определим функцию формулой

и предположим, что положительны. Так как положительны, то Таким образом, больше, чем для . С другой стороны, меньше, чем для поскольку . Таким образом, в любой точке, лежащей выше, чем если для Но для малых имеем

т. е. функция отрицательна для малых положительных ; следовательно, тем более, скобка в (68) отрицательны в области выше Интегрируя (68) от до 1, получаем

где обозначает скобку в (69), так что в интервале интегрирования. Уравнение (71) ясно показывает, что не может обращаться в нуль. Заметим, что интеграл в (71) сходится, несмотря на простой полюс функции в точке (один из полюсов функции как можно видеть из (70). Следовательно, мы имеем [23] следующую теорему:

Теорема 1. Если и -непрерывные и аналитические функции, причем всюду, то особые нейтральные моды невозможны и течение устойчиво.

Аналогично можно доказать следующую теорему:

Теорема 2. Если непрерывные и аналитические функции, причем всюду, то особые нейтральные моды невозможны и течение устойчиво.

Чтобы доказать теорему 2, необходимо только определить как и проинтегрировать уравнение для соответствующее (68), от нуля до

Теоремы 1 и 2 составляют естественное обобщение известной теоремы Рэлея для однородной жидкости.

Осталось заметить, что исследование нормальных мод может быть не адекватно исследованию устойчивости. Однако еще никто не нашел случаев неустойчивости, не описываемой в рамках нормальных мод, за исключением очевидного случая неустойчивости горизонтального течения, когда возрастает с высотой.