3. Обобщенные решения

3а. Несуществование решения

Попытаемся теперь построить решение уравнения (15) с заданными начальными условиями Как мы видели в предыдущем разделе, характеристика, проходящая через любую точку оси это прямая линия с наклоном следовательно, она может быть построена сразу. В любой точке этой характеристики и будет равна Если при этом для каждой пары точек выполняется условие

то семейство характеристик заполняет всю полуплоскость и приводит к решению задачи с начальным условием, которое будет по крайней мере таким же гладким, как и

Предположим, однако, что условие (19) нарушено для некоторой пары точек Тогда характеристики, проходящие через точки пересекутся в точке

Если решение начальной задачи существует, то его значение в точке должно одновременно равняться что, конечно, невозможно. Таким образом, если условие (19) нарушено, не существует гладкого всюду решения начальной задачи.

В линейном случае производная постоянна, так что характеристики являются параллельными прямыми и решение существует при произвольных начальных данных. Если, однако, функция нелинейна, то лишь для очень ограниченного класса начальных условий неравенство (19) не нарушается. Иными словами, отсутствие решения начальной задачи для уравнения (16) скорее правило, чем исключение. Это не особенность уравнения (15), а типичное свойство нелинейных гиперболических систем общего вида. Отсутствие глобального решения системы (17) было установлено в работе [6].

3б. Решения с разрывами и условия на скачке

Отсутствие глобального решения начальной задачи для дифференциального уравнения (3) не обязательно означает, что соответствующая физическая задача некорректно поставлена. В действительности прямой физический смысл имеет закон сохранения (1), который может, очевидно, допускать решения в классе разрывных функций, не удовлетворяющих уравнению (3). По историческим причинам (дифференциальные уравнения поля были получены различными методами раньше, чем интегральные) каждое решение уравнения называют обобщенным решением уравнения (3). Чтобы подчеркнуть различие, обычное решение уравнения (3) называют классическим.

Класс решений со слабыми разрывами, рассмотренный в п. 26, представляет собой пример обобщенного решения, не являющегося классическим. Однако этот класс недостаточно широк, чтобы включать все обобщенные решения. Мы рассмотрим здесь другой класс, который, хотя и не исчерпывающим образом, демонстрирует как математические, так и физические следствия существования обобщенных решений.

Пусть гладкая поверхность в пространстве-времени, а и — некоторое обобщенное решение уравнения (3), непрерывно дифференцируемое в каждой точке, не принадлежащей Кроме того, на существуют односторонние пределы функции и, но они не равны между собой, так что и терпит конечный скачок на Как и в п. 26, 9 может быть интерпретирована как распространяющаяся поверхность в пространстве, которую назовем разрывом, или ударной волной.

Поступая так же, как в разд. 1, видим, что уравнение поля (3) удовлетворяется в каждой точке пространства-времени, не лежащей на поверхности

Фиг. 111.1. Траектория разрыва в пространстве-времени

Зафиксируем теперь некоторую точку на Пусть малая окрестность малая окрестность так что поверхность 9 делит цилиндр на две части и (фиг. III. 1). Проинтегрируем уравнение (3) отдельно по объемам и а затем сложим результат. После интегрирования по частям получим

где часть поверхности 9 внутри цилиндра угол между нормалью к поверхности и осью (см. фиг. III. 1). Как и в п. 26, скобки означают скачок заключенной в них величины (с соответствующим знаком) при переходе через поверхность Так как и — обобщенное решение уравнения (3), то сумма первых трех интегралов равна нулю. Кроме

того, выражение под знаком интеграла по непрерывно на так что, сжимая около точки получаем

Пусть поверхность задана уравнением тогда нормаль к ортогональные проекции этой нормали соответственно на ось времени и пространство (см. фиг. III. I). Таким образом,

где использовано соотношение (8). Отсюда следует, что в каждой точке поверхности

Наоборот, легко доказать, что если -мерное векторное поле и кусочно гладко и удовлетворяет уравнению (3) в каждой точке, в которой оно гладко, и соотношению (20) на поверхности разрыва, то и — обобщенное решение уравнения (3). Уравнение (20) называют условием Речкина — Гюгоньо, или условием на скачке.

Следует заметить, что различные законы сохранения могут приводить к одному и тому же уравнению поля. Например, как закон сохранения

так и закон сохранения

приводят к уравнению

Однако соответствующие условия Ренкина — Гюгоньо на скачке

различны. Таким образом, хотя классы гладких решений уравнений (21), (22) совпадают, классы обобщенных решении

различны, и уравнения (21) и (22) не эквивалентны. Мы вернемся к этому обстоятельству при обсуждении понятия «энтропия»

Подробное изучение особых поверхностей в физике сплошных сред можно найти в книгах [1, 2]. Для систематического отыскания всех законов сохранения, приводящих к определенному уравнению поля, см. [7] и указанные там ссылки.

3в. Контактные разрывы и истинная нелинейность

В линейном случае определяющие уравнения (2) записываются в виде

где матрицы введенные в разд. 2, не зависят от и. Таким образом, условие Ренкина — Гюгоньо имеет вид

Сравнивая его с (5), приходим к заключению, что в линейных гиперболических системах разрывы распространяются вдоль характеристик.

Этот результат, вообще говоря, не переносится на нелинейные системы. Однако и здесь может случиться, что разрыв находится на характеристике, по крайней мере относительно состояния по одну сторону от него. Разрыв, обладающий таким свойством, называют контактным разрывом. Так как в линейном случае каждый разрыв является контактным, естественно назвать системы, в которых контактные разрывы невозможны, истинно нелинейными.

Тогда очевидно, что гиперболическая система (4) является истинно нелинейной, если характеристики одного и того же семейства пересекаются; это должно происходить, если

для каждого собственного значения и соответствующего собственного вектора задачи (5).

Простой расчет показывает, что уравнение (15) и система (17) истинно нелинейны, если соответственно.

Структура решений истинно нелинейных гиперболических систем значительно проще, и по этой причине внимание исследователей было сосредоточено на таких системах. Однако следует подчеркнуть, что этот класс не включает многих систем, возникающих в приложениях. Например, в приложениях системы (17) к задачам нелинейной теории упругости типичная

Фиг. III. 2. «Истинный» разрыв.

функция (кривая напряжения — деформации) не является ни выпуклой, ни вогнутой. Система уравнений газовой динамики, представленная в гл. IV, также не является истинно нелинейной.

Обсуждение контактных разрывов читатель найдет в статье Лэкса который вводит понятие истинной нелинейности и изучает ее связь со структурой решения.

3г. Неединственность обобщенного решения

При расширении класса решений системы (3) за счет включения в него обобщенных решений единственность решения начальной задачи, вообще говоря, теряется. Это демонстрирует следующий простой пример. Рассмотрим закон сохранения (21), который приводит к уравнению поля (23) и условиям Ренкина — Гюгоньо (24) при начальных условиях

Условие (19) нарушается при так что гладкого решения не существует. Однако функция

удовлетворяет уравнению (23) для а также условию (24) на линии следовательно, она является обобщенным решением уравнения (23) (фиг. III. 2).

Рассмотрим теперь тот же закон сохранения, но с начальным условием

Фиг. Недопустимый разрыв и центрированная простая волна

которое получается из (26) изменением знака времени. Поэтому (27) сразу дает следующее решение:

(см. фиг. III.3,а).

Заметим, однако, что функция

также является решением (23), (28), которое непрерывно везде (кроме точки Решение вида (30) в секторе называют центрированной простой волной. Заметим, что линии которые ограничивают центрированную простую волну, — это слабые разрывы, которые, как ожидается, распространяются вдоль характеристик, что и показано на фиг. III. 3,6.

Итак, неединственность решения установлена. Действительно, сочетание (29) с (30) дает бесконечное множество решений уравнения (23) с начальным условием (28).