5г. Системы более высокого порядка, неоднородная среда

В тех случаях, когда лагранжиан в (55) содержит более чем одну переменную производные выше первого порядка, теория строится аналогичным образом. Однако с увеличением числа зависимых переменных добавляется одна особенность. Некоторые дополнительные переменные — назовем их потенциалами — входят только через свои производные, которые являются физически значимыми величинами. Если такую переменную обозначить через то для физических величин наиболее общее периодическое решение имеет следующий вид:

где -периодическая функция. Коэффициенты дополнительные параметры решения. При обобщении на квазипериодические волны с величиной нужно обращаться гак же, как с другими словами, должны записать

и определить следующим образом:

Производные появятся в усредненном лагранжиане, а вариации приведут к уравнению

аналогичному (63). Другие постоянные интегрирования, аналогичные константе А, дают уравнения типа (62), которые налагают соответствующие дополнительные связи между этими константами [1, 6, 7].

Обобщение на большее число пространственных переменных делается элементарно. Волновое число становится вектором и вариация (61) по дает уравнение

которое представляет собой обобщение уравнения (63).

Для неоднородной среды исходный лагранжиан в (55) содержит явную зависимость от через параметры, описывающие свойства среды. При вычислении периодического решения

и усредненного лагранжиана эти параметры считаются фиксированными. Затем в вариационном уравнении (61) вновь допускается их изменение, т. е.

Дополнительная зависимость от или не затрагивает вариационных преобразований, и поэтому уравнения (62) и (63) сохраняют силу. Поскольку в дисперсионное соотношение входят явно или то от этих переменных зависят коэффициенты уравнения (68) и в уравнениях типа (72) появятся дополнительные слагаемые.

Единая компактная форма уравнений, охватывающая все указанные возможности, как раз и является одним из достоинств рассмотренной теории.