3г. Допускает ли уравнение Кортевега — де Вриза ударную волну при ...

В гл. III и разд. 2 настоящей главы мы показали, что уравнение

имеет решения с разрывами. Такие решения могут представлять предел гладких решений более общего уравнения [например, уравнения Бюргерса (31)], когда некоторый малый параметр стремится к нулю. Так, при соответствующем использовании законов сохранения получают, что решения предельного уравнения (58) представляют собой предел решений, например, уравнения Бюргерса. Кроме того, разрыв в решениях уравнения (58) можно заменить гладким переходом, таким, как решение (34).

Уравнение (58) является предельным также для уравнения Кортевега — де Вриза, когда дисперсионный параметр стремится к нулю. Поскольку решения предельного уравнения должны содержать ударные волны, если они сохраняют смысл после первого пересечения характеристик, то интересно знать, являются ли такие решения пределами решений уравнения Кортевега — де Вриза. Иными словами, выполняется ли равенство ? В связи с этим возникает также вопрос о том, может ли переход к уравнению Кортевега — де Вриза заменить разрыв гладким переходом. Согласно эвристическому рассмотрению, которое мы проведем ниже, решения уравнения Кортевега — де Вриза при не стремятся к решениям, описывающим ударные волны в обычном смысле. Поведение этих решений при таком предельном переходе еще не очень хороша понято, и мыотсылаем читателя к гл. VIII, стр. 240, где обсуждаются некоторые из возникающих возможностей. В этой связи представляет интерес также модельное уравнение, исследованное Яджимой и др. [17].

Обратимся снова к законам сохранения. Если рассмотреть начальное условие такое, что интегралы

являются конечными, то, интегрируя уравнение (52), нетрудно показать, что, подобно уравнению Бюргерса, в уравнении

Кортевега — де Вриза сохраняется «импульс», поскольку

Однако в отличие от уравнения Бюргерса, еслиумножить уравнение (52) на и затем его проинтегрировать, то мы видим, что в уравнении Кортевега — де Вриза сохраняется также «энергия» Е:

Заметим, что уравнение Кортевега — де Вриза является особым в том смысле, что ему в действительности соответствует бесконечное число законов сохранения (см. гл. VIII), но для наших целей достаточно первых двух.

Предельное уравнение (58) может обеспечить сохранение импульса или энергии, но не обеих этих величин сразу. Посему оно связано с уравнением Бюргерса, а не с уравнением Кортевега — де Вриза. Чтобы в этом убедиться, предположим, что для решения уравнения (58) требуется ввести ударную волну. Для простоты будем считать, что нужен только один разрыв, распространяющийся со скоростью Интегрируя уравнение (58) в пределах от — с» до с» и изменяя порядок интегрирования [с учетом существования разрыва в точке находим

где функции при переходе через разрыв. Поступая аналогичным образом с уравнением, получающимся после умножения уравнения (58) на получаем

В физических задачах (например, в газовой динамике) обычно соответствует импульсу, который сохранйется, в то время как соответствует кинетической энергии, которая не обязана сохраняться. Положив мы тем самым определяем скорость ударной волны, равную (в данном случае)

Подставляя в уравнение для энергии, получаем скорость уменьшения энергии

которая обязательно должна быть отрицательной.

То, что для всех но имеет конечное отрицательное значение при показывает, что решение, получаемое в пределе не стремится к решениям предельного уравнения и, в частности, не содержит ударных волн.

Другой возможный подход (см. [18]) состоит в том, что можно попытаться заменить разрыв гладкой функцией, определяемой уравнением Кортевега — де Вриза. В этом случае мы предполагаем существование гладкого перехода между двумя различными состояниями, толщина которого стремится к нулю с уменьшением Толщину такой переходной области будем обозначать через причем при Перейдем от координат к «растянутым» координатам, движущимся с ударной волной, положив

где (неизвестная) траектория движения ударной волны. Тогда для функции уравнение Кортевега — де Вриза (умноженное на принимает вид

При правая часть этого уравнения обращается в нуль. Нетривиальным является только такой выбор когда поэтому без потери общности можно положить и перейти к пределу Переменная теперь входит только как пара метр в функцию и предельное уравнение записывается в виде

Это уравнение есть не что иное, как стационарное уравнение Кортевега — де Вриза (53). Граничные условия в растянутых координатах записываются следующим образом: при при Однако решениями уравнения (53) являются только кноидальные и уединенные волны, нег никаких решений, которые могли бы удовлетворить граничным условиям, необходимым для существования ударного фронта. Следовательно, уравнение Кортевега — де Вриза не способно обеспечить существование ударной волны, и его решения не содержат решений предельного уравнения (58).