дисперсия отсутствует. Однако если учесть члены с малым, но конечным 
то для фазовых скоростей получим
Отсюда мы виднм, что если пренебречь в разложении функции 
членами порядка 
то дисперсионному соотношению соответствует (см. гл. V, стр. 152) дифференциальное уравнение
которое представляет собой линеаризованное уравнение Кортевега — де Вриза.
Основная идея теперь состоит в том, чтобы учесть ненулевую амплитуду 
а также ненулевое волновое число 
используя нечто вроде разложения вблизи решения, соответствующего 
Это впервые было сделано Кортевегом и де Вризом [13]. При этом удобно перейти к безразмерным величинам, используя «естественные» физические масштабы, соответствующие линейному случаю. Определим следующие величины:
и разложим 
в ряд по степеням 
:
Уравнение Лапласа в безразмерных координатах записывается в виде
Подставляя сюда разложение 
можно показать, что решение для 
удовлетворяющее граничному условию 
записывается в виде
а 
удовлетворяет соотношению
Определяя функцию 
и используя граничные условия (45) и (46), получаем уравнения
и
которые соответствуют приближению Буссинеска [14] для мелкой воды.
Для решения уравнений (49) применим метод, изложенный в разд. 2 (при этом обозначим 
Собственные значения матрицы Со равны 
Выберем 
и рассмотрим волну, бегущую вправо, обозначая
Это позволяет записать вектор и в виде
где скалярная функция 
должна удовлетворять следующим условиям разрешимости:
и
«Реконструированное» отсюда уравнение Кортевега — де Вриза ваписывается в виде
Если 
то поведение функции 
во времени определяется, уравнением (506), причем преобладает зависимость 
от медленного времени 
Линейное уравнение (506) описывает волны с дисперсией, поэтому 
уменьшается со временем по мере того, как возмуидение расплывается. Следовательно, нелинейный член представляет собой всегда лишь небольшую
поправку в уравнении (51), которое с хорошей точностью можно заменить уравнением (506) для всех значений времени.
Однако если 
то нельзя получить правильного описания процесса для всех значений времени с помощью только одного из двух уравнений (50). В этом случае вначале 
изменяется во времени в соответствии с (50а), т. е. преобладает изменение, связанное с медленным временем 
В зависимости от 
-начального» возмущения величины 
рассматриваемой как функция от 
величина 
либо будет представлять собой семейство расплывающихся простых волн, либо иметь участки с нарастающей крутизной и стремиться стать неоднозначной. В последнем случае, который, в частности, имеет место для любого начального возмущения величины 
стремящегося к нулю при 
получаемое таким образом решение справедливо только на конечном интервале времени. Ясно, что по мере увеличения крутизны волны производные по X значительно возрастают и в конечном счете член 
должен стать сравнимым с 
Для таких интервалов времени мы должны использовать полное уравнение (51). Если многозначность решений уравнения (50а) должна устраняться с помощью ударных волн, как это было показано в разд. 2, то из (51) должны вытекать соответствующие законы сохранения, связывающие величины по обе стороны от разрыва. Это означает, что уравнение (50а) следует рассматривать как частный случай более общего уравнения (51).
Тогда возникает вопрос: допускает ли включение уравнения (50а) в (51) образование ударных волн? Чтобы ответить на такой вопрос, перепишем уравнение (51), положив
В результате получаем следующее уравнение:
В случае, представляющем интерес, 
и .мы хотим выяснить, стремятся ли решения уравнения (52) при 
к ударным волнам, которые являются решениями предельного уравнения 
при 
Мы рассмотрим этот вопрос в 
или 
Поскольку 
то условие мелкой воды записывается как 
При этих условиях дисперсионное соотношение (48) хорошо аппроксимируется несколькими членами его разложения в ряд Тейлора:
фазовые скорости 
определяются выражением
т. е. в данном предельном случае
