3в. Стационарные волновые решения уравнения Кортевега — де Вриза

Стационарные волны — это волны, которые распространяются с постоянной скоростью без искажения формы. Такие волны можно найти с помощью замены

Фиг. IV. 3 Кубический полином определяющий характер стационарных волн.

где -неизвестная скорость волны, подлежащая определению. Делая такую замену в уравнении Кортевега — де Вриза (52), мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

где штрих обозначает дифференцирование по Интегрирование этого уравнения дает

здесь произвольная постоянная интегрирования. Умножая последнее уравнение на и снова интегрируя, находим

Действительные решения существуют только для таких для которых

Полином может иметь один или три действительных корня. В случае только одного корня никаких ограниченных решений не существует. Предположим поэтому, что имеет три действительных корня т. е. можно записать, что На фиг IV.3 построен график полинома для трех возможных случаев: в случае А все корни различны, в случае В совпадают а в случае С совпадают

В предположении, что (ниже мы укажем, какие требуются изменения, если как в случае волн на воде), решение может существовать для тех участков кривых для которых неотрицательно. Двойные корни на фигуре соответствуют значениям либо на «начальной», либо на «конечной» точках интегральной кривой (54). В таких точках и из (53) следует, что все производные от равны нулю. Следовательно, постоянное значение соответствующее двукратно вырожденному корню, равно точному значению интеграла уравнения (53). Отсюда следует, что непостоянное решение стремится к значению двукратно вырожденного корня только асимптотически при -оо или при

Рассмотрим точку, скажем вблизи простого нуля на кривой А и будем считать, что (см. ). Поскольку в области то будет увеличиваться с ростом К, но, так как имеет конечный отрицательный наклон в этой части кривой, то и поэтому должна уменьшаться. В точке производная уменьшается до нуля, но остается отрицательной. Следовательно, с увеличением К величина становится отрицательной, и решение «отражается» от точки возвращаясь по тому же пути на кривой А. Таким образом, положительная часть кривой А, расположенная между двумя точками, в которых принимает нулевые значения и наклон кривой отличен от нуля, представляет собой решение для осциллирующее между двумя значениями

Осциллирующие решения можно найти в явном виде через эллиптическую функцию Якоби следующим образом:

здесь параметр дается выражением

Определение функции можно найти в справочнике ([15], §§ 6.1 и 7.2) ). Функция является оциллирующей между нулем и единицей с периодом где полный эллиптический интеграл первого рода (см. [15], § 17.3).

Периодическая волна (55) называется «кноидальной»; ее длина волны равна Для частных значений функция следовательно, решение (55) описываются более простыми функциями, а именно: Амплитуда колебаний

относительно среднего значения равна а Для волн малой амплитуды колебания становятся синусоидальными, так как при

Рассматривая кривую В на фиг. IV. 3, мы видим, что при — возможно решение, стремящееся к При движении вдоль кривой В оно уменьшается до причем в этой точке решение снова «отражается» и при возвращается вдоль В к значению График зависимости такого решения от К выглядит как простая симметричная яма (или, если как горб). Эта волна имеет неограниченную длину и называется «уединенной» волной. Можно показать, что уединенная волна дается выражением

[для данного случая и интегрирование выражения (54) производится элементарно]. Этот результат также можно получить из (55), если стремится к так что следовательно, Поскольку при то длина кнопдальной волны в предельном случае, когда она становится уединенной волной, стремится к бесконечности, как уже было отмечено. При этом величина представляет собой амплитуду уединенной волны, т. е. высоту горба (или глубину впадины) относительно

Кноидальные и уединенные волны лучше всего, по-видимому, изучены в случае волн на мелкой воде. Всесторонний обзор теории таких волн с разъяснением их физического смысла дан Бенджаменом и Лайтхиллом в работе [16].

Остается обсудить случай, соответствующий кривой С на фиг. IV. 3. В этом случае, как иногда говорят, возникает «гидравлический прыжок». Гидравлический прыжок — аналог ударной волны на воде — представляет собой разрывное возмущение, соединяющее две полубезграничные области, в которых принимает различные значения. Как видно из фиг. IV. 3, в случае С два сопряженных таким образом значения равны Однако последнее значение не является возможным решением, так как здесь Единственным решением в случае С является только одно постоянное значение . Действительно, даже

если уравнение (53) допускает разрывные решения, то полином принесет, по-видимому, мало пользы при их описании, та как этот полином получился после двух интегрирований, в которых не приняты в расчет неизбежные разрывы в производных

Следовательно, имеются только два решения (в виде непрерывных волн), не равные всюду константе, — это кноидальные волны в случае А и уединенные волны в случае В. Скорость волны 9? связана с корнями выражением

(здесь мы учли, что коэффициент перед квадратичным членом в кубическом полиноме равен сумме его корней, взятой со знаком минус).

Подставляя выражение для К и обобщая на случай как положительных, так и отрицательных запишем окончательные формулы для кноидальных и уединенных волн:

и

В выражении (56) три независимых параметра которые до сих пор характеризовали кноидальные волны, заменены другими тремя эквивалентными произвольными параметрами: О (средний уровень колебаний), а, (амплитуда, определяемая как полусумма отклонений вверх и вниз) и (параметр, принимающий значения от нуля до единицы) Аналогично, в решении (57) для уединенной волны два различных параметра заменены одним невозмущенным значением, обозначенным теперь через

Выражения (56) и (57) показывают, что как скорость, так и форма волны зависят от амплитуды возмущения и параметров невозмущенного состояния, на фоне которого распространяется волна. Появление зависимости от амплитуды — это, очевидно, особенность, обусловленная нелинейностью. В отличие от обсуждавшейся в гл I и II строго линейной (частотной) дисперсии, связанной с длиной волны, зависимость скорости от амплитуды названа «амплитудной дисперсией». Конечно, необходимо помнить, что нелинейные волны, вообще говоря, не подчиняются принципу суперпозиции.