2е. Стоячие волны

Вернемся к одномерному случаю и зададимся вопросом: что остается в этом случае от понятия анизотропии, или, другими словами, в чем различие между изотропным уравнением (20) и одномерным соотношением Величина в (20) является модулем вектора к и всегда положительна, тогда как в может иметь любой знак. Одномерное волновое движение изотропно, если

т. е. если четная функция Это условие, в сущности, означает, что волны, движущиеся влево, подчиняются тому же закону дисперсии, что и волны, движущиеся вправо, и что задача в некотором смысле инвариантна относительно «отражения» оси Далее мы рассмотрим только случаи, в которых подобная изотропия имеет место. Необходимо отметить, что переход в движущуюся систему координат (преобразование Галилея) нарушает свойство изотропии.

Вследствие свойства изотропии для каждого решения вида

найдется решение вида

Суперпозиция этих решений дает

Это решение имеет фиксированные узлы, расположенные в точках Такие волны не распространяются (средний поток энергии равен нулю) и называются стоячими волнами, их можно интерпретировать просто как колебания с частотой происходящие синфазно (но с разными амплитудами) во всех точках пространства.

При суперпозиции двух волн различных семейств, в частности образующих стоячие волны, плотности энергий не складываются. Причина заключается в том, что плотности энергий

пропорциональны квадратам амплитуд. Однако средние плотности энергий аддитивны, так как члены, описывающие взаимодействие, в среднем обращаются в нуль. Правда, может понадобиться несколько изменить определение среднего.