1. Метод возмущений

«Метод многих масштабов», который мы используем для вывода уравнений, предполагается асимптотически правильным для больших значений времени, когда Этот метод широко используется, но, подобно многим асимптотическим теориям, он не имеет строгого математического обоснования. В данном случае ограничиваются предположением, что «если метод работает, то он правилен». Метод многих масштабов мы используем здесь для систематического сведения системы уравнений, зависящих от нескольких малых параметров, к уравнению для одной неизвестной функции. Используемый нами метод представляет собой модификацию схемы Таниути и Вея [1] и основан на идеях, изложенных в работах Кеворкяна [2], Коула [3] и Лика [4] (см. также статью Лика [5]).

1а. Метод двух масштабов

Прежде чем вводить нашу модельную систему уравнений, проиллюстрируем вкратце необходимость применения нескольких временных масштабов на более простом примере одного уравнения

где линейный оператор, содержащий только преобразования по координате некоторый другой, возможно нелинейный, оператор и малый параметр.

Для простоты рассмотрим начальную задачу, когда на действительной оси задана функция

причем существует преобразование Фурье

Будем предполагать, что фурье-образом для является где — фурье-образ функции Это выполняется, например, в случаях, когда дифференциальный оператор или интегральный оператор типа свертки.

Пытаясь решить уравнение (1) с помощью обычного метода теории возмущений, представим и в виде ряда

которому соответствует фурье-образ

Следовательно, применяя к уравнению (1) преобразование

Фурье, получаем

Подставляя (26) в (3) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях получаем, что первыми двумя уравнениями из бесконечной последовательности уравнений являются

Предположим, что выполняется равенство

которое справедливо, например, для линейных операторов того же класса, что и или (после некоторого обобщенного определения преобразования Фурье) при выполнении условий «нелинейного резонанса», обсуждаемых в гл. VII.

Решение уравнения (4), удовлетворяющее начальному условию, записывается в виде

Подставляя в (5), получаем следующее уравнение:

оно имеет решение

при нахождении которого мы использовали начальное условие

Таким образом, когда используются первые два члена в разложении (26), решение записывается в виде

и, следовательно, относительная погрешность, вносимая при отбрасывании второго члена, имеет порядок . В полном решении (2а) для широкого класса функций это приводит к той же самой относительной погрешности. Погрешности такого же порядка нередко можно ожидать и при пренебрежении членами более высоких порядков.

Если то для фиксированного произведение уже не является малым и решение в виде ряда (2) более несправедливо. Запись решения в виде (8) означает, что и зависит не только от переменной которую мы теперь будем называть быстрым временем, а также от величины которую обозначим через и назовем медленным временем. Сущность метода многих масштабов состоит в том, что формально вводится медленное время предполагается функцией трех независимых переменных: т. е. координаты и двух временных переменных:

Рассматриваемый метод «работает», когда соответствующим выбором зависимости от может быть найден регулярный ряд по для причем разложение справедливо на временах порядка Таким образом, предполагается, что функция представима в виде ряда (2а), причем ее фурье-образ

Заметим, что производные по времени имеют вид

Подставляя ряд для в уравнение (3) и учитывая (10), находим уравнения для первых двух коэффициентов:

и

Решение для удовлетворяющее начальному условию, имеет вид

Оно совпадает с прежним решением, за исключением того, что теперь появился коэффициент Если не считать ограничения налагаемого начальным условием, этот коэффициент является пока произвольной функцией от Используя эту неопределенность, можно сделать решение справедливым вплоть до Правая часть уравнения для приводящая к указанному выше затруднению, записывается теперь в виде

Она обращается в нуль, если

и, чтобы удовлетворить начальным условиям, мы должны выбрать Тогда ряд (9) принимает вид

Во многих случаях такой процесс может быть продолжен неограниченно, а если это так, то ряд (9) справедлив в любой момент времени. Выполняя эту процедуру, мы определим из уравнения для

Заменяя на и считая малой величиной, можно показать, что первый член в (11) сводится к первым двум членам ряда (8) с той, однако, существенной разницей, что разложение справедливо при тогда как ряд (8) на таких интервалах времени расходится.

1б. Преобразование систем уравнений

Рассмотрим теперь такие системы нелинейных уравнений, зависящих от одного или более малых параметров, которые при обращении в нуль всех этих параметров допускают решения в виде незатухающих и нерасплывающихся волн. Как и в предыдущем разделе, независимыми переменными являются время и единственная пространственная координата Предположим, что систему уравнений можно записать в виде

где вектор-столбец

матрица порядка зависящая только от и, коэффициенты малые параметры, некоторые векторные операторы, действующие (не показано в явном виде) на зависящие от Например, может быть равен где I — единичная матрица.

Предположим, что волновое движение представляет собой небольшое возмущение некоторого состояния определяемое параметром [следовательно, считается решением, так что ]; попытаемся найти разложение и вблизи по малому параметру в виде

здесь опущены члены, пропорциональные квадрату и более высоким степеням (Во избежание вычислительных затруднений обычно рассчитываются только члены, выписанные в явном виде.) Подставляя выражение (13) в уравнения (12) и пренебрегая членами высших порядков, находим

Будем считать, что при система уравнений (12) допускает решение в виде волн, и предположим, что матрица С разложима в ряд:

где -матрица с постоянными коэффициентами, имеющая действительных и различных собственных значений другими словами, можно написать следующее равенство:

где собственные векторы-столбцы, соответствующие Решение уравнения (14) записывается в виде

где удовлетворяют 115); это можно проверить подстановкой решения (16) в уравнение (14), которая дает

здесь . В силу равенства (15) решение (16) содержит произвольные функции в частности, при оно представляет собой общеизвестное элементарное решение линеаризованного волнового уравнения. Приступая к рассмотрению приближения более высокого порядка, мы сосредоточим свое внимание только на одном из решений (16). В дальнейшем предполагается, что выбрано одно решение, и мы будем опускать индексы у выделенной пары Имея сразу собственных значений, мы должны ограничиться либо асимптотическим поведением единственной моды по истечении длительного интервала времени, либо решением с начальными условиями, соответствующими одной бегущей волне (16). В последнем случае начальные данные должны обеспечивать зависимость решений в нулевом приближении только от и чаще всего методы многих масштабов применяются при решении уравнений в частных производных в рамках этого ограничения. Для решения общей начальной задачи требуются все собственных значений. Подход, приводящий к решению, равномерно пригодному во времени для произвольных начальных условий, рассматривается в работе Чиквенду и Кеворкяна [6]. Граничные условия также могут потребовать использования более чем одной моды. Лессер и Сибасс [7] и Ханг и Сибасс [8] решали две такие задачи с помощью связанных асимптотических рядов; однако для решения подобных задач более естественным представляется метод многих масштабов.

Уравнения, содержащие члены более высокого порядка, получают подстановкой ряда в (12) и приравниванием коэффициентов перед Поскольку предположим, что обладает следующим свойством: При этом условии искомые уравнения записываются в виде

и

По-видимому, каждое из векторных уравнений (17) можно разрешить относительно входящих в него неизвестных функций. Однако без введения многих временных масштабов в (16) решение пригодно только на интервале времени где Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим уравнение для Поскольку удобно преобразовать координаты следующим образом:

тогда уравнение (17а) принимает вид

где I — единичная матрица. Если это уравнение умножить слева на собственный вектор-строку соответствующий собственному значению т. е. на вектор, который удовлетворяет уравнению

то получим следующее уравнение:

Вообще говоря, и, поскольку правая часть зависит от X,

как и для рассмотренного выше неравномерно сходящегося ряда (8).

Любое из уравнений (17) может привести к такому же затруднению. Однако теперь мы знаем, как преодолеть это затруднение. Для каждого малого параметра введем медленное время

а быстрое время обозначим через так что после преобразования координат (18) получаем

Произвольная функция не зависит явно от но теперь может зависеть от Уравнения (17), записанные для переменных где преобразуются к виду

и

Умножение на вектор-строку приводит к тем же трудностям, что и прежде, если правая часть не ортогональна вектору т. е. если не выполняются условия

и

здесь для мы использовали выражение Поскольку функция произвольна, можно удовлетворить условиям ортогональности (20), если потребовать, чтобы функция определялась из (20). Поскольку величины связаны с зачастую удобнее «реконструировать» одно уравнение, описывающее поведение функции во времени. Используя равенство (196), получаем следующее уравнение:

Его решение обеспечивает применимость на интервале времени порядка (предполагается, что все величины, линейные относительно параметров или больше чем любые их квадратичные комбинации относительно этих параметров).

1в. Уравнения Бюргерса и Кортевега — де Вриза

Уравнения газовой динамики для диссипативных сред, а также уравнения, используемые в теории волн на мелкой воде, записываются в виде уравнений (12) с операторами, которые удовлетворяют определенным условиям, рассмотренным в п. 16. Например, для газовой динамики

(здесь у — отношение удельных теплоемкостей, которое является константой для данного газа). Собственные значения матрицы Со равны и 0, а векторы, полученные "транспонированием собственных векторов системы, записываются как (1, 1, 0), (1, —1, 0) и ). Собственные значения ±1 соответствуют скорости звука в невозмущенной среде, а третье (нулевое) собственное значение — переносу энтропийных возмущений. Нас интересует распространение звука. Выбирая направление распространения звука в сторону увеличения т. е. полагая имеем соответствующий собственный вектор-строку . В плоском случае помимо параметра имеется только один малый параметр который в соответствии с принятым в механике сплошных сред обозначением равен т. е. величине, обратной числу Рейнольдса. Оператор записывается

следующим образом:

здесь число Прандтля и отношение сдвигового и объемного коэффициентов вязкости предполагаются постоянными. Поскольку

то уравнения (20) принимают вид

и

Таким образом, «реконструированное» уравнение представляет собой уравнение Бюргерса

Как будет показано ниже, волны на мелкой воде описываются системой двух уравнений (в приближении Буссинеска), для которых

Эти уравнения зависят от и от единственного малого параметра характеризующего условия распространения; при этом оператор имеет вид

Собственные значения матрицы равны им соответствуют транспонированные векторы-столбцы и (1, —1) и собственные векторы-строки и (1, —1). Таким образом, выбирая причем

соответствующие уравнения (20) можно, записать в виде

и

а реконструированное уравнение представляет собой уравнение Кортевега — де Вриза