2а. Волны за препятствием в слоистом течении

Если задано распределение плотности и скорости вверх по течению, то величины и в уравнении (38) можно выразить как функции . В результате уравнение (38), вообще говоря, нелинейно. Однако нетрудно получить линейные формы (38), потребовав линейности по Это, конечно, налагает определенные ограничения на условия в области далеко вверх по течению, при которых это справедливо. К счастью, соответствующие классы условий достаточно реалистичны, многочисленны и пригодны для аппроксимации истинных условий далеко вверх по течению. Мы ограничимся обсуждением волн,

создаваемых препятствием в слоистом течении, для которого уравнение (38) имеет особенно простую линейную форму. Заметим, что такая линейная форма (38) не связана с линеаризацией и не требует поэтому, чтобы возмущения были малы.

Рассмотрим течение в области с граничными условиями

Если воспользоваться безразмерными переменными

то при имеем

и функция должна быть пропорциональна или т. е. (38) принимает вид

где

Если в течении имеется барьер, который вносит возмущение, и если число Фруда достаточно мало, то за барьером будут существовать волны. Чтобы учесть влияние барьера, воспользуемся описанным ниже методом сингулярностей.

Пусть прямая является особой для уравнения (41). Его решение для обозначим через а решение для через Будем искать эти решения отдельно, а затем сошьем принимая во внимание особенности. Результирующее решение и описывает течение за барьером, создаваемым линией особенностей. Как мы увидим ниже, можно рассмотреть и несколько таких линий.

Принимая во внимание экспериментально наблюдаемое отсутствие волн вверх по течению от барьера (которое можно объяснить в случае бесконечно малых волн, но здесь оно будет предполагаться), имеем [11]

где

а определяется неравенствами

Заметим, что каждый член в (42) является решением уравнения (41), член соответствует невозмущенному течению и решение для не содержит волн. Число волновых компонент определяется соотношениями (44), а соответствующие длины волн находятся из (43).

Можно потребовать, чтобы

где

определенным образом задана для Уравнение (45) означает, что на линии нет ни источников, ни стоков, а (46) означает, что при имеется вихревой слой. Из условия (45) следует, что для для а из (39) — что

и

Таким образом, если только задана функция то известны все коэффициенты в (42). Уравнение (47) особенно важно, так как оно устанавливает, что коэффициенты которые являются амплитудами соответствующих компонент волн . препятствием, зависят только от первых коэффициентов Фурье функции и не зависят от остальных. Они, так сказать, не зависят от всех деталей функции следовательно, от всех деталей барьера. Кроме того, выражение (42) для показывает, что имеется волновых компонент, поскольку На фиг. X. 1 представлена картина течения при за барьером, созданным следующим распределением особенностей:

Здесь имеется только одна волновая компонента за барьером.

Фиг. Х. 1. Картина волн за барьером в слоистом течении. Одна волновая компонента.

Вместо (45) и (46) мы можем потребовать выполнения условий

и

Линия особенностей здесь представляет собой некоторое распределение источников и стоков. Для барьеров, ограниченных замкнутым контуром, интеграл от в пределах от нуля до а должен быть равен нулю. Тогда коэффициенты в (42) даются выражениями

Мы можем рассмотреть особенности при значениях отличных от нуля, независимо от того, используется ли распределение вихрей, распределение источников—стоков или и то и другое. Для барьера, ограниченного замкнутым контуром, сумма интегралов по линии источников—стоков должна быть равна нулю. Решения уравнения (41) даны также в работах Лонга [9], Дрезина и Мура [12] и Майлса [13, 14]. Обсуждение этих работ в связи с влиянием барьера на течение перед ним и явлением за

пирания можно найти в обзоре Йи [6]. Здесь мы заметим только, что хотя влияние на область вверх по течению всегда имеет место, решение (41) при некоторых условиях в этой области не обязательно является бессмысленным, поскольку эти условия можно рассматривать как следствие помещения барьера в поток, первоначально отличный от того, который получается в результате. Однако решения для высоких барьеров при малых числах Фруда, дающие очень сложную картину течения с областями замкнутых линий тока, могут быть нереальными из-за возможного в этих случаях запирания, приводящего к изменениям условий вверх по течению по сравнению с теми, которые предполагались при решении.

В заключение этого раздела заметим, что известны и другие классы волн конечной амплитуды в слоистых жидкостях.

Лонг [15] исследовал уединенные волны в несжимаемой жидкости с экспоненциальным распределением плотности, а Бенджамен [16] — уединенные и кноидальные волны в слоистой несжимаемой жидкости. В этих работах амплитуда движения в вертикальном направлении считается такой же, как в периодических волнах большой длины, и преобразование растяжения (или, вернее, сжатия) горизонтальной координаты (в направлении распространения волны) дает уравнение, которое определяет форму волны после того, как динамические уравнения удовлетворяются в требуемом порядке приближения.

Известен класс решений, соответствующий теории мелкой воды для гравитационных волн в слоистой жидкости [17]. Кроме того, было показано, что решение Герстнера для волн конечной амплитуды, которое, согласно работе [18], остается справедливым для слоистой жидкости, описывает также волны за препятствием в слоистой жидкости [19].