6. Адиабатические инварианты, волновое действие и энергия

Отметим следующее обстоятельство, интересное как само по себе, так и в связи с выяснением смысла уравнения (63): данный подход можно использовать в соответствующих задачах динамики колебательных систем; его применение приводит там к новому способу получения некоторых хорошо известных результатов. В динамике колебательных систем исходными являются обыкновенные дифференциальные уравнения для функций времени чтобы использовать рассматриваемую здесь теорию. мы должны опустить зависимость от Тогда модуляция периодических решений может быть обусловлена только медленно меняющимся параметром, скажем и лагранжиан, входящий в (55), принимает вид Нелинейный осциллятор с может служить примером, который тесно связан с лагранжианом (56).

Соответствующий анализ проводится точно так же, как описывалось в разд. 5, но на каждом этапе опускают зависимость от . В результате получаем уравнения

и

здесь представляет собой обобщенный импульс, причем зависимость определяется из интеграла энергии

[В этом случае введенная в (76) величина сводится к удобнее использовать обычный импульс Из первого

уравнения (80) следует, что величина

постоянна при медленных вариациях параметра; эта величина называется «адиабатическим инвариантом». Его выражение через контурный интеграл хорошо известно, но представление в виде является новым. Конечно, энергия не сохраняется при изменении параметра Второе соотношение в (80) дает формулу для частоты :

которая также хорошо известна.

В волновых задачах адиабатическое уравнение превращается в закон сохранения (63)

Здесь имеется любопытное соответствие между величинами Если волна является периодической по но параметры среды изменяются во времени то если же периодическая во времени волна входит в область, где параметры среды зависят от При распространении модуляции вдоль волны изменения во времени компенсируются изменениями в пространстве. Таким образом, мы имеем сохранение чего-то, что удобно назвать «волновым действием»; тогда являются соответственно плотностью и потоком волнового действия.

Применение уравнения (84) в динамике колебательных систем показывает, что оно существенно отличается от уравнения сохранения энергии. Это различие сохраняется и для волн. Уравнение для энергии, получаемое из соображений временной инвариантности вариационных уравнений, записывается в виде

Справедливость уравнения (85) можно установить непосредственно из (62) — (64), однако вывод из условия временнбй инвариантности вариационных уравнений отождествляет его с уравнением сохранения энергии. Для среды, параметры которой не зависят от времени, правая часть в (85) равна нулю, и это уравнение также имеет форму закона сохранения.

В линейных задачах лагранжиан 2 квадратичен по а, поэтому уравнение (85) имеет вид (70), но с иной функцией Для однородной среды есть функция от и может быть исключена, как и прежде, что приводит к уравнению (72). Таким образом,

уравнение (72) действительно имеет отношение к энергии, но волновое действие оказывается более фундаментальной и более удобной величиной при описании неоднородной среды.

Для линейных задач заслуживает внимания следующий момент. Экстремальным значением является тогда плотность энергии

Следовательно, уравнение для волнового действия можно записать в виде

В линейных задачах механики хорошо известен адиабатический инвариант в виде Брезертон и Гарретт [8] утверждали, что имеются некоторые трудности в применении этих идей к движущейся среде, связанные с преобразованием между движущимися системами отсчета, но в действительности никаких трудностей не существует. В системе отсчета, движущейся вместе со средой, наблюдатель будет использовать, скажем, лагранжиан в то время как наблюдатель в системе отсчета, относительно которой среда движется со скоростью V, будет иметь причем эти лагранжианы связаны друг с другом выражениями . В первой системе отсчета

а во второй Поскольку то

и

Таким образом, уравнение (86) по-прежнему верно, но его полезно переписать в виде

Используя вариационный принцип, можно также получить уравнение сохранения импульса; выведенное из условия пространственной инвариантности оно имеет вид

Справедливость последнего уравнения можно также доказать непосредственно из уравнений (62)-(64).