8. Формальная теория возмущений

В этом заключительном разделе дано краткое объяснение того, как результаты теории, рассмотренной в разд. 5, можно формально получить, используя первый член в разложении теории возмущений. Более подробно данный вопрос изложен в работе [7].

Рассматриваемый здесь метод представляет собой интересное обобщение так называемого «метода двух времен», который

обычно применяется непосредственно при решении дифференциальных уравнений, но здесь приспособлен к вариационному принципу. В этом методе принято, что зависимые переменные изменяются в соответствии с двумя временными масштабами, один из которых определяется быстрыми осцилляциями волны, а другой — медленными вариациями параметров Имеются также два соответствующих масштаба длины. Функция записывается в виде

где

а малый параметр характеризует отношение быстрого временного масштаба к медленному; функция не является теперь строго периодическим решением. Для волнового числа и частоты имеем

Масштабы выбраны так, что

аналогичные выражения можно записать и для . В результате находим

Если величины порядка единицы, то масштабы выбираются так, что и -медленно меняющиеся переменные, а функция и испытывает медленные изменения на фоне быстрых колебаний по фазе

Уравнение Эйлера для (55) имеет вид

где

В новых переменных отсюда получаем

причем представляет собой следующую функцию:

Уравнение (92) является уравнением второго порядка для функции трех переменных Искусство метода двух масштабов состоит в том, чтобы решшь данное уравнение в

предположении, что независимые переменные. Если это можно сделать, то, очевидно, представляет собой решение исходной задачи. Решение обычно находят с помощью разложения

причем на накладываются дополнительные условия, устраняющие секулярные по члены, которые в противном случае привели бы к нарушению равномерной сходимости разложения. В низшем порядке по имеем следующее уравнение:

где

Первый интеграл этого уравнения записывается в виде

Сравнивая (94) с (75), мы видим, что оно совпадает с уравнением для периодического решения, но в нем имеется дополнительная зависимость от Следовательно, в низшем порядке имеет тот же вид, что и в строго периодическом решении, но теперь параметры и А являются функциями от что позволяет описывать медленные вариации решения. Затем находят уравнения для и А в следующем порядке по Требуемые уравнения для и А следуют из условия отсутствия в секулярного члена, пропорционального

Однако нас интересует вариационный принцип. Неожиданным является тот факт, что (92) представляет собой уравнение Эйлера для следующего вариационного принципа:

в котором функция есть функция трех переменных . В уравнении (95) функция и ее вариации считаются периодическими по причем вариации обращаются в нуль на границе области Если определить функцию

то мы имеем уже более точную форму «усредненного» вариационного принципа. Таким образом, интуитивная идея метода не только подтверждается в первом приближении, но она

содержит все решение! В низшем порядке

здесь периодическое решение, в котором учитывается, как и в (94), зависимость и А от Величина вычисляется в виде функции только переменных и А (см. разд. 5). Вариационное уравнение (95) в низшем порядке теперь записывается в виде

где

Вариации и А приводят соответственно к уравнениям

Здесь мы показали основные идеи метода, использующего теорию возмущений. Существует много вопросов, связанных с данным методом, которые нуждаются в более детальном обсуждении, но это не требуется для наших целей. Такие вопросы подробно рассматриваются в работе [7].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)