3г. Генерация гармонических волн в струне с дисперсией

Другой пример нестационарного волнового движения в среде с дисперсией будет здесь представлен линейным уравнением Клейна — Гордона (3) [см. случай 1 в разд. 1], которое описывает распространение волн в упруго закрепленной струне. Рассмотрим полубесконечную струну которая вначале находится в покое, а затем подвергается непрекращающемуся синусоидальному воздействию при

Применим к уравнению (3) преобразование Лапласа с учетом приведенного выше граничного условия. Тогда для нетрудно получить решение в виде

где однозначность подынтегрального выражения достигается с помощью разреза от до в левой половине -плоскости. Полюс при может быть расположен как выше (фиг. 11.4), так и ниже точки для определенности будем считать положительной.

Фиг. 11.4. Контур интегрирования для преобразовании Лаплаева в случае гармонических волн в струне с дисперсией.

Прежде чем произвести обратное преобразование Лапласа по формуле (34), исследуем дисперсионное соотношение и групповую скорость, соответствующие уравнению движения (3). Мы уже нашли для них следующие выражения:

или, через Отсюда видно, что групповая скорость становится мнимой для частот, меньших частоты отсечки и это, как будет показано в дальнейшем, оказывает существенное влияние на решение. Далее отметим, что максимальное значение групповой скорости равно 1. В предыдущей задаче решение было экспоненциально мало для в то время как здесь мы покажем, что определяет резкий фронт волны, перед которым возмущение отсутствует вообще. Положим в и замкнем путь интегрирования полуокружностью радиуса в правой полуплоскости, как показано на фиг. II. 4. На этой полуокружности и внутри замкнутого контура подынтегральное выражение не имеет особенностей. Поэтому можно применить лемму Жордана, из которой следует, что при Тот же результат можно было бы получить и непосредственно из выражения (2) с помощью метода характеристик (обсуждаемого в гл. III).

Чтобы определить возмущение непосредственно за фронтом волны, обозначим и возьмем Тогда член, дающий главный вклад в интеграл (34), можно найти путем разложения подынтегрального выражения для больших и последовательного интегрирования каждого члена. Удерживая члены вплоть до порядка включительно, получаем интеграл

который может быть вычислен точно. Вначале рассмотрим следующий интеграл:

и введем новую переменную по формуле Тогда

где для выбран тот корень, который при равен качестве контура интегрирования в -плоскости снова можно

взять вертикальную линию лежащую справа от мнимой оси. Тогда

поскольку отвечает преобразованию Лапласа от функции Бесселя Теперь можно найти из (36) с помощью теоремы свертки:

Это выражение справедливо для всех при Если величина мала, то функции Бесселя могут быть аппроксимированы главными членами их разложений в степенные ряды. Это дает что совпадает с главными членами в разложении оригинала при Иначе говоря, при фиксированном вблизи фронта волна сохраняет форму входного сигнала. Однако спустя много времени, когда волновой фронт пройдет столь большое расстояние, что возмущение за фронтом будет расплываться, формируя обычные гармонические колебания.

Решение на произвольных расстояниях позади фронта волны для больших может быть определено методом наискорейшего спуска. Полагая в формуле и

мы находим, что седловые точки расположены при

Две линии наискорейшего спуска, проходящие через эти седловые точки (они обе дают вклад одного порядка), изображены на фиг. II. 4. Верхняя линия пересекает мнимую ось -плоскости в точках причем наклон касательной в точке равен Нижняя линия представляет собой зеркальное отражение верхней. Заметим, что в случае, когда исходная линия и две линии вместе взятые не охватывают полюс при но если то необходимо учитывать вклад от вычета в этом полюсе. Аналогично, когда вклад от вычета также существует, но он экспоненциально мал. Таким образом, с учетом выражения (28) мнимая часть интеграла (34)

имеет вид

где равна единице или нулю для соответственно. Случай не описывается этим решением, так как полюс и седло в точке совпадают, обращая в бесконечность последний член в формуле (40). В (40) введены обозначения где, как и выше, является положительным корнем уравнения Групповая скорость для данного случая определена выражением (35).

Первый член в приведенном выше асимптотическом решении представляет собой просто гармоническую волну с частотой и волновым числом определяемым соотношением (35). Так как ее амплитуда равна единице, когда то она превосходит все другие члены и вследствие этого может быть названа «стационарным сигналом» или просто «сигналом», в то время как другие члены описывают нестационарный отклик. Чтобы определить скорость фронта сигнала, положим и воспользуемся соотношением (39). Тогда получим

что в точности совпадает с выражением для групповой скорости С, которая соответствует, скажем, входной частоте и меньше, чем максимальное значение групповой скорости Следовательно, сигнал также распространяется со своей групповой скоростью, несмотря на то, что гребни его перемещаются вперед с фазовой скоростью которая превышает С.

Второй член в (40) отличен от нуля только при в этом случае сигнал «выключается», так как Это нераспространяющаяся волна, экспоненциально затухающая с расстоянием от начала координат и простирающаяся от (последнее значение определяется из условия Таким образом, в случаях или соответственно первый или второй член в выражении (40) будет правильно воспроизводить в точке входной сигнал, т. е. Это получается вследствие предположения о наличии при непрерывно действующего источника. Вместе с тем различие в характере отклика для случаев чрезвычайно велико.

Последний член в (40) представляет уже знакомые нам расплывающиеся группы волн с амплитудой порядка Для больших в случае они оказываются доминирующими возмущениями; когда же они уступают по амплитуде сигналу и будут наблюдаться только как нестационарный предвестник, занимающий постоянно удлиняющийся интервал Вблизи этот предвестник может быть обычным образом связан с мнимой частью более точного «фронтального» решения (37).

Чтобы завершить асимптотическое решение для рассмотрим случай Это позволит определить поведение искомой функции на фронте стационарной волны. [Детали этого анализа чрезвычайно громоздки и будут опущены. Они включают более точное разложение подынтегрального выражения в формуле (34) вблизи седла, так как оно, по существу, совпадает с полюсом при Конечный результат содержит как «сигнальный» член, так и член, пропорциональный интегралу Френеля. На фронте сигнала сумма этих членов имеет вид

Амплитуда этой группы колебаний равна в точности половине полной амплитуды стационарного сигнала.