ПРЕДИСЛОВИЕ

Содержание книги посвящено одному из направлений исследований в теории трансцендентных чисел. В ней излагаются основные результаты об арифметических свойствах значений Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из поля рациональных функций.

Понятие Е-функции было определено в 1929 г. К. Зигелем, создавшим метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений таких функций. Е-функции — это целые функции, имеющие алгебраические коэффициенты ряда Тейлора по степеням z с некоторыми арифметическими свойствами. Простейшей из трансцендентных Е-функций является показательная функция Метод Зигеля представляет собой в какой-то мере обобщение классического метода Эрмита — Линдемана, которым была доказана трансцендентность чисел и и получены другие результаты об арифметических свойствах значений показательной функции в алгебраических точках.

За последние 30 лет метод Зигеля получил существенное дальнейшее развитие и обобщение. Появилось много работ, в которых доказаны общие теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, получены оценки мер линейной независимости, трансцендентности и алгебраической независимости таких значений, а общие теоремы применены ко многим классам конкретных Е-функций. Естественно, возникла задача собрать и опубликовать основные из этих результатов. Настоящая книга представляет собой попытку решить эту задачу.

Первая глава книги содержит простейшие сведения о приближении действительных и алгебраических чисел, связанные с основным ее содержанием.

Во второй главе излагаются результаты Эрмита и Линдемана. При этом используются различные методы доказательства.

В третьей главе развивается основной метод рассматриваемого направления теории трансцендентных чисел. В ней доказывается ряд общих теорем о трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций в случае, когда эти функции не связаны алгебраическими уравнениями в поле рациональных функций. В четвертой главе метод, рассмотренный в третьей главе, обобщается на случай, когда исследуемые

функции связаны алгебраическими уравнениями над полем рациональных функций.

В главах 5—10 рассматриваются различные методы доказательства алгебраической независимости функций над полем рациональных функций, которые позволяют применять общие теоремы, содержащиеся в третьей и четвертой главах, к конкретным классам Е-функций.

Главы 11—13 посвящены получению оценок мер линейной независимости, трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций в различных случаях.

В заключительных замечаниях приводится обзор ряда результатов, полученных разными авторами, в какой-то мере близких к содержанию книги. В конце приведен обширный список литературы. Для того чтобы книга была полезной более широкому кругу читателей, доказательства в ней проводятся с достаточной подробностью. Некоторые дополнительные факты приводятся без доказательств. Большинство глав заканчивается замечаниями об исследованиях, связанных с их основным содержанием.

В каждой главе леммы, теоремы и формулы имеют независимую нумерацию.

При ссылках на формулы других глав номер главы указывается перед номером формулы. Например, (3.62) обозначает формулу (62) из главы 3.

При ссылках на литературу указываются два номера: номер автора в списке литературы и номер работы автора. Так, например, [16: 9] означает работу 9 Ю. В. Нестеренко, который имеет номер 16 в списке литературы.

Автор посвящает эту книгу памяти своих родителей Бориса Андреевича Шидловского (1884—1942) и Александры Всеволодовны Шидловской (1887—1976).

Автор выражает благодарность В. X. Салихову и В. В. Казакову, предоставившим ему свои еще неопубликованные исследования по линейной неприводимости функций, рассматриваемых в главе 10, В. А. Олейникову за некоторые советы и информацию, а также О. Н. Василенко, А. И. Галочкину, Ю. Н. Макарову, В. X. Салихову и В. Г. Чирскому за прочтение некоторых глав рукописи и корректуры.

Особую благодарность автор выражает редактору книги Ю. В. Нестеренко за большой труд по ее редактированию и за ряд ценных замечаний и улучшений в изложении, а также за представление автору своих доказательств теоремы Зигеля, рассматриваемой в главе 9, и теоремы 8 из главы 10.

А. Шидловский

ОБОЗНАЧЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)