§ 2. Мера линейной независимости значений IE-функций

Пусть совокупность КЕ-функций

составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

или системы линейных дифференциальных уравнений

Многочлен по-прежнему будет обозначать наименьший общий знаменатель всех рациональных функций в системе (28) или системе (29).

Рассматривая меры значений КЕ-функций (27) в точке можно число А выбирать и так, что а также рассматривать в определении мер линейную форму или многочлен с коэффициентами из алгебраического поля, отличного от поля К. Поэтому в гл. 11—13 будем рассматривать два любых фиксированных алгебраических поля над (которые могут и совпадать) и фиксированное число Поле Ко будет наименьшим алгебраическим полем над содержащим , Поле (К будет полем, которому принадлежат коэффициенты степенных рядов рассматриваемых КЕ-функций (27), а К — полем, относительно которого рассматриваются меры значений функций (27) в точке ?. Числа где будут сопряженными с числом в поле

Пусть алгебраические поля, сопряженные с полем а функции

при каждом значении получаются из функций (27) заменой всех коэффициентов их степенных рядов по степеням z на сопряженные числа из поля Кол.

Функции (30) будем называть функциями, сопряженными с функциями (27) относительно поля

Аналогичные обозначения в дальнейшем будем использовать и для некоторых других функций (в том числе и рациональных функций).

В дальнейшем, как и в гл. 3, можно будет считать, что система дифференциальных уравнений (28) (или система (29)) такова, что все функции Тогда очевидно, что совокупность функций (30) при каждом значении будет решением системы дифференциальных уравнений вида (28) (или (29)), в которой все рациональные функции заменены на сопряженные им функции из поля

Пусть будет обозначать произвольную линейную форму с коэффициентами из с размером линейные формы, получающиеся из формы после замены всех ее коэффициентов на сопряженные числа из поля

Всюду в гл. 11 число будет любым числом из Положительные постоянные и с с индексами и без индексов бгудут зависеть от совокупности КЕ-функций (27), их числа чисел а постоянная с, кроме того, от чисел или входящих в оцениваемые меры алгебраической независимости. При этом и с в разных случаях будут обозначать различные числа.

Теорема 1. Пусть совокупность КЕ-функций (27), составляет решение системы дифференциальных уравнений (28) и линейно независима над

Тогда существует постоянная такая, что выполняется неравенство

а если то неравенство

Доказательство. Пусть

При условиях теоремы 1 выполняются условия леммы 16 гл. 3 с заменой поля К на поле По этой лемме при любом , где определено равенством (3.83), существует совокупность линейно независимых форм от чисел

таких, что

Среди линейных форм (35) можно выбрать форм так, что вместе с формой они будут линейно независимы. Можно считать, что это будут первые форм. Пусть при каждом

будут формами, получающимися из форм переходом к сопряженному полю т. е. заменой чисел коэффициентов степенных рядов функций и числа на сопряженные числа из

Обозначим буквой определитель линейных форм определитель, получающийся из заменой его элементов на сопряженные числа из поля Далее, обозначим символом алгебраическое дополнение элемента строки и столбца в . Так как и то Значит, при некотором значении выполняется неравенство

Из равенств (34) и (38) при каждом имеем

Выберем так, чтобы что возможно, поскольку Тогда из равенства (40) находим, что

Заменяя в неравенствах (36) и (37) число 8 на и замечая, что неравенство (36) справедливо для всех форм

с помощью этих неравенств получаем

Из неравенств (39), (41) и (42) находим, что

Выберем минимальное такое, что удовлетворяются условия Тогда

При сделанных предположениях, начиная с некоторого Я, выполняется неравенство

откуда

Из неравенств (43) и (44), поскольку получаем

откуда следует, что неравенство (31) выполняется, начиная с некоторого . Уменьшая, если это необходимо, постоянную получим, что неравенство (31) будет выполняться при любом .

При неравенство (32) следует из неравенства (31), так как модули комплексно сопряженных чисел равны.

Следствием теоремы 1 является следующий результат. Теорема 2. Пусть совокупность IE-функций (27), линейно независима над вместе с числом 1 и составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (29),

Тогда существует постоянная такая, что выполняется неравенство

Теоремы 1 и 2 нетрудно переформулировать на случай IE-функции, являющейся решением дифференциального уравнения

или дифференциального уравнения

и ряда ее последовательных производных. Приведем формулировку только теоремы, соответствующей теореме 2.

Теорема 3. Пусть IE-функция является решением линейного дифференциального уравнения (47) порядка не удовлетворяет никакому линейному дифференциальному уравнению порядка меньшего, чем не является многочленом),

Тогда существует постоянная такая, что выполняется неравенство

Сравнение с неравенствами (10) и (14) показывает, что в теоремах 1—3 в оценках (31), (32), (45) и (48) главный член в показателе является точным.