§ 5. Дальнейшие усиления и обобщения теоремы Лиувилля

Теорема Лиувилля дает оценку сверху для порядка приближения алгебраических чисел рациональными числами. Поэтому после ее опубликования возникла следующая проблема: для алгебраического числа а степени найти такую постоянную при которой неравенство

имеет лишь конечное число решений в числах при любом и бесконечное множество таких решений при любом Из теоремы Лиувилля следует, что для всех алгебраических чисел степени

В 1909 г. А. Туэ [78:2] опубликовал работу, содержащую изложение его метода в теории приближения алгебраических чисел, с помощью которого он существенно снизил оценку для величины Он установил, что для всех алгебраических чисел степени В 1908 г. Туэ [78:1] получил аналогичный результат только для чисел вида где

Теорема Туэ. Если а — алгебраическое число степени любое положительное число, то неравенство

имеет только конечное число решений в числах

В методе Туэ конструируется многочлен обращающийся в нуль в точке вместе с рядом своих последовательных частных производных по х и имеющий «достаточно хорошую» оценку сверху для модулей всех коэффициентов. В доказательстве теоремы Туэ допускается, что неравенство (68) имеет бесконечное множество решений в рациональных числах и выбирается два решения и с достаточно большими знаменателями. Затем устанавливается, что после чего утверждение теоремы Туэ получается подобно тому, как была доказана теорема Лиувилля.

Теорема Туэ позволила ему доказать теорему о конечности числа решений диофантова уравнения (0.1), упомянутого во введении.

В 1921 г. К. Зигель методом Туэ существенно снизил оценку для показателя в неравенстве (67). Из его результата, в частности, следует, что для всех алгебраических чисел а степени В той же работе Зигель распространил Применение метода Туэ на случай приближения алгебраических чисел алгебраическими числами.

Дальнейшие попытки снизить оценку для величины используя два решения соответствующего неравенства (67), не привели к существенным результатам. Только Дайсону в 1947 г. [40: 1] и А. О. Гельфонду в 1948 г. [5: 6] независимо удалось показать, что для всех алгебраических чисел степени

Казалось, что если удастся построить многочлен от многих переменных, обладающий свойствами, аналогичными свойствам многочлена Туэ, то, воспользовавшись существованием многих решений неравенства (67), можно будет еще снизить оценку величины Но эта задача долгое время не поддавалась решению из-за сложности конструирования соответствующего многочлена.

В 1955 г. К. Ф. Рот [66:1] смог преодолеть трудности в этой задаче и доказал, что для всех алгебраических чисел степени

Теорема Рота. Если алгебраическое число степени любое положительное число, то неравенство

имеет только конечное число решений в числах

Заметим, что из теоремы Лиувилля при следует более точный результат, чем из теорем Туэ, Зигеля и Рота.

Результат Рота является существенным продвижением в решении проблемы приближения алгебраических чисел рациональными числами, но все же до конца ее не решает. Теперь дальнейшие исследования должны быть направлены на то, чтобы выяснять, для каких положительных функций растущих медленнее, чем любая степенная функция, неравенство

будет иметь конечное или бесконечное множество решений в числах

Рассмотрим снова теорему Лиувилля. В ней постоянная с является эффективной, т. е. может быть вычислена, если задано число а и, следовательно, его степень и высота Пользуясь следствием из леммы 2, при в теореме Лиувилля можно, например, положить

В отличие от теоремы Лиувилля, теоремы Туэ, Зигеля и Рота, существенно усиливающие теорему Лиувилля, не являются эффективными. Это обстоятельство является причиной того, что теорема Туэ о диофантовых уравнениях, сформулированная во введении, и доказываемая с помощью теоремы Туэ о приближении алгебраических чисел, также не эффективна. Она доказывает конечность числа решений диофантовых уравнений

рассматриваемого класса, но не устанавливает границ для их величин. Метод Туэ не давал возможность эффективно усилить теорему Лиувилля. Попытки решить эту проблему в течение многих лет не приводили к успеху.

Было замечено (см. А. О. Гельфонд [5:8]), что задача эффективизации метода Туэ связана с проблемой получения эффективных оценок линейных форм от логарифмов нескольких алгебраических чисел с коэффициентами из Но такие оценки были установлены А. О. Гельфондом только для логарифмов двух алгебраических чисел.

В 1966 г. А. Бейкеру [32:1] удалось существенно усилить метод Гельфонда 1934 г. и получить эффективную оценку для модуля линейной формы от логарифмов нескольких алгебраических чисел. Это позволило ему установить теоремы об эффективном усилении теоремы Лиувилля и эффективизации теоремы Туэ о диофантовых уравнениях, а также некоторые другие результаты. Ряд авторов, пользуясь методом Бейкера, улучшали и обобщали его исследования. Приведем формулировки двух теорем Н. И. Фельдмана, опубликованных в 1971 г. [24: 6], об эффективном степенном понижении показателя в теореме Лиувилля и соответствующей эффективизации теоремы Туэ о диофантовых уравнениях.

Теорема 12. Если то существуют такие эффективные постоянные зависящие лишь от а, что для любых выполняется неравенства

Теорема 13. Пусть -неприводимая форма с коэффициентами из

Тогда существуют такие эффективные постоянные зависящие лишь от формы что все целочисленные решения диофантова уравнения

удовлетворяют неравенству