§ 4. Алгебраическая независимость решений совокупности линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Доказательство теоремы 1. Проведем его помощью индукции по числу дифференциальных уравнений (3).

При по условию 2° фупкции алгебраически независимы над Поэтому утверждение теоремы справедливо.

Предположим, что для уравнений теорема доказана и не существуют функции с указанными в утверждении теоремы свойствами. Докажем, что функции алгебраически независимы над Тогда теорема будет доказана для а по индукции для любого

Обозначим, , если если Из индуктивного предположения следует, что Поэтому достаточно доказать, что функции алгебраически независимы над полем

Предположим противное. Тогда по лемме 5 (заметим, что условия этой леммы выполняются ввиду индуктивного предположения) существуют нетривиальные решения и первых двух дифференциальных уравнений (3) такие, что функция алгебраична над полем Пусть -функция, сопряженная с над полем По следствию из леммы 2 функция так же, как и удовлетворяет первому из дифференциальных уравнений (3). Если то образуют фундаментальную систему решений первого из уравнений (3). Так как алгебраичны над то поле алгебраично над значит, Но это противоречит утверждению леммы 4. Поэтому где

Пусть есть минимальный многочлен над Произведя замену получим, что все корни уравнения

являются комплексными числами. Но тогда

Поскольку то получаем, что где Из полученного равенства следует, что и поэтому существуют взаимно простые многочлены такие, что

где обозначают пары: функцию и ее производную. Дифференцируя равенство (35) и пользуясь тем, что функция удовлетворяет первому из дифференциальных уравнений (3), получаем уравнение

где

— дифференциальный оператор, связанный с системой дифференциальных уравнений (3) и действующий в кольце и для краткости обозначений в коэффициентах при и Допущены функции Так как и функции алгебраически независимы над то из равенств (35) и (36) следует, что многочлен делится на неприводимый многочлен Сравнивая степени многочленов получаем тождество

Обозначим совокупность всех однородных членов многочлена наибольшей степени по группе переменных Затем обозначим совокупность всех однородных членов многочлена наибольшей степени по группе переменных Продолжим этот процесс до многочлена Обозначим Тогда

и многочлен однороден относительно каждой из групп переменных

Сравнивая в тождестве (37) соответствующие члены, имеем

Из тождества (38) находим

откуда следует, что идеал замкнут относительно применения оператора т. е. Идеал однороден по каждой из групп переменных и если многочлены зависят по крайней мере от двух групп этих переменных, то существует нуль идеала такой, что в каждой из пар имеется отличная от нуля компонента. Применяя к идеалу лемму 3, получаем, что существуют нетривиальные решения

дифференциальных уравнений (3) с индексами такие, что совокупность функций составляет нуль идеала следовательно, алгебраически зависима над Но по индуктивному предположению это невозможно. Поэтому многочлены зависят только от одной группы переменных пусть для определенности

Рассмотрим главный идеал Из тождества (38) следует, что Поскольку имеет нетривиальный нуль, то по лемме 3 существуют нетривиальные решения первых двух из дифференциальных уравнений (3) такие, что

Так как и однородные многочлены одинаковой степени, то из уравнения (39) следует, что функция удовлетворяет уравнению

где — линейные формы с коэффициентами из от функций

Поскольку функции алгебраически зависимы над то, повторяя рассуждения, проведенные в начале доказательства теоремы, получим, что

где - взаимно простые многочлены из кольца . Если не являются однородными многочленами одинаковой степени, то из равенства (41) и уравнения

следует, что функции алгебраичны над полем т. е. алгебраически зависимы над полем Но последнее невозможно по условию 2° теоремы. Значит, однородные многочлены одинаковой степени.

Подставляя правую часть равенства (41) вместо х в уравнение (40) и пользуясь снова алгебраической независимостью функций над найдем, что делит делит а это означает, что являются линейными формами. Следовательно, степень многочлена по переменным равна 2.

Применяя к многочлену однородному по каждой из групп переменных рассуждения, использованные в

доказательстве леммы 5, получим многочлен

такой, что Из последнего уравнения и равенства (41), поскольку следует, что

где взаимно простые однородные многочлены, причем Дифференцируя последнее равенство и пользуясь равенством (41), находим

откуда следует, что делит и делит Если где то из того, что делит и из равенства имеем, что делит Следовательно, где Значит, главный идеал удовлетворяет условию а поскольку он имеет нетривиальный нуль, то по лемме 3 существует нетривиальное решение первого из дифференциальных уравнений (3) алгебраически зависимое со своей производной. Но это противоречит условию теоремы. Значит, Аналогично доказывается, что где Так как то Поэтому следовательно,

Полученное равенство противоречит предположению, сделанному в начале доказательства, и это противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы.