§ 2. Простейшая гипергеометрическая Е-функция

В § 13 гл. 3 содержится теорема 4 о трансцендентности значений трансцендентной Е-функции являющейся решением линейного дифференциального уравнения первого порядка

в любой точке Эта теорема непосредственно следовала из второй основной теоремы гл. 3. В частности, из нее получается результат Линдемана о трансцендентности чисел при так как функция есть решение уравнения

Рассмотрим гипергеометрическую функцию

удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению первого порядка

с единственной особой точкой

При лемме 3 функция (17) является гипергеометрической Е-функцией. Как целая функция, отличная от многочлена, эта функция есть трансцендентная функция. Поэтому, пользуясь теоремой 4 гл. 3, получим следующий результат.

Теорема 1. Если то число трансцендентно.

Функция (17) при любом X связана с показательной функцией Действительно, при

Если где то выполняется равенство

Если же то, интегрируя уравнение (18), получим

где с — постоянная.

Введем следующее обозначение. Если есть функция аналитическая в точке

символ

будет обозначать ту первообразную для функции которая получается после умножения всех членов ряда (20) на

и почленного интегрирования с постоянной интегрирования равной нулю, т. е.

В частности, при

Пользуясь этим обозначением, равенство (19) можно переписать следующим образом:

Теорема 2. Если числа алгебраически независимы.

Установим две леммы, необходимые для доказательства этой теоремы.

Пусть — некоторое поле аналитических функций, замкнутое по отношению к операции дифференцирования, т. е. то и В частности, оно может быть полем:

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнении

и связанный с этой системой дифференциальный оператор

Тогда если

Следовательно,

Лемма 4. Пусть совокупность функций

аналитических в некоторой области, составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Далее, функции (26) связаны алгебраическим

уравнением

где - неприводимый многочлен (25).

Тогда многочлен делится на многочлен как многочлен переменных, а частное от деления является функцией т. е.

Доказательство. Многочлен содержит хотя бы одну из переменных Пусть для определенности это будет

Так как имеет место уравнение (27), а функции (26) являтются решением системы (23), то при

Исключим из двух уравнений (27) и (29) функцию составив результант соответствующих многочленов:

Многочлен не может содержать функции так как в противном случае они были бы связаны алгебраическим уравнением над полем а это противоречит тому, что степень трансцендентности множества функций (26) равна Значит, и поэтому многочлен делится на многочлен как многочлен от переменных.

Из вида дифференциального оператора (24) следует, что степень многочлена по переменным не выше степени многочлена Следовательно, частное от деления на является элементом из Лемма доказана.

Следствие. Если при условиях леммы многочлен имеет для системы (23) тот же смысл, что и в гл. 3 и 4, а

то многочлен делится на неприводимый многочлен как многочлен от независимых переменных, а частное от деления есть многочлен из

Пусть

— дифференциальный оператор, связанный с дифференциальным уравнением (18).

Лемма 5. Если

то многочлен может делиться на многочлен как многочлен от двух независимых переменных, тогда и только тогда,

когда он имеет вид

Доказательство. Пусть делится на Так как степень по у не больше степени а степень по z, быть может, превосходит степень на единицу, то частное от деления на будет многочленом от z степени не выше чем первой. Поэтому

Пусть теперь Тогда

Интегрируя дифференциальное уравнение (32), получаем

Поскольку — целая функция, то из равенства (33) следует, что

Если не зависит от у, то и имеет вид (31).

Если же зависит от у, то положим

Применяя к многочлену дифференциальный оператор (30), получим

Сравнивая в тождестве (32) коэффициенты при и пользуясь при этом равенствами (34) и (35), находим

Деля обе части первого из тождеств будем иметь

откуда следует, что многочлен делится на многочлен и

Интегрируя, находим

Тождество (37) принимает вид

откуда

Подставляя найденные значения и во второе из тождеств (36), приходим к тождеству

Из тождества (38) имеем, что Сравнивая в нем коэффициенты при старшей степени z, находим, что Пусть

где многочлен, не делящийся на Подставляя эти выражения в тождество (38), получим тождество

из которого, ввиду неравенства следует, что Но это противоречит условию леммы. Следовательно, не зависит от у и имеет вид (31). Так как обратное утверждение очевидно, то лемма доказана.

Лемма 6. Если то функции алгебраически независимы над

Доказательство. Положим Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Рассмотрим дифференциальные операторы, связанные с системой (39): оператор при

Функция есть целая трансцендентная функция. Допустим противное, что функции алгебраически зависимы над Тогда существует алгебраическое уравнение

где неприводимый многочлен.

Из формы дифференциальных операторов (30) и (40) следует, что

Итак, и функции связаны уравнением (41). Поэтому по следствию из леммы 4 многочлен

делится на многочлен как многочлен от трех независимых переменных, и существует многочлен такой, что

Поскольку степень по не превосходит степени а степень по z быть может на единицу больше степени то где

Замечая, что

и применяя к обеим частям уравнения (41) оператор находим

Сравнивая коэффициенты при степенях в обеих частях тождества (42), пользуясь при этом равенствами (41) и (43), получим

Из тождеств (44) следует, что при каждом к многочлен делится на многочлен а тогда по лемме 5 частные от деления равны Деля обе части тождеств (44) со значениями соответственно на и сравнивая после этого в них коэффициенты при z, находим, что а тогда и Но это противоречит условию леммы. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Положим в лемме Применяя вторую основную теорему гл. 3 и лемму 6 к функциям удовлетворяющим системе линейных дифференциальных уравнений (39), получим утверждение теоремы 2.

Пусть Обозначим

Из равенств (22) и (45) находим

При функция как произведение Е-функций есть Е-функция. По лемме 6 функции алгебраически независимы над Тогда из равенства (46) следует, что

и что любые две из функций алгебраически независимы над Тем самым, в частности, доказана следующая лемма.

Лемма 7. Если то функции алгебраически независимы над

Теорема 3. При любых числа алгебраически независимы.

Доказательство. Дифференцируя равенство (45), убеждаемся в том, что функции составляют решение системы дифференциальных уравнений

По лемме 7 эти функции алгебраически независимы над Применяя вторую основную теорему гл. 3, получаем утверждение теоремы.

Отметим ряд следствий из теоремы 3.

Пусть — дробное рациональное число, С помощью замены переменной из равенства (45) получим

Из теоремы 3 получаем, что при любом числа алгебраически независимы.

Лемма 8. Пусть Если функции алгебраически независимы над то и функции алгебраически независимы над С.

Доказательство. Допустим противное, что существует многочлен

такой, что

Подставим в левую часть уравнения (48) вместо произведения где корни степени из единицы. Тогда все и по теореме о симметрических многочленах произведение

будет алгебраическим уравнением над С между что невозможно.

Рассмотрим «неполную» гамма-функцию

Пользуясь леммой 8, из теоремы 3 имеем: при любом числа алгебраически независимы, а все нули функции трансцендентны.

Обозначим «неполный» интеграл вероятностей

Снова пользуясь леммой 8 и теоремой 3, находим, что при любом , числа алгебраически независимы. Аналогично для функции

при дробном рациональном получаем, что при любом числа алгебраически независимы.