§ 7. Следствия из вспомогательной теоремы

Если воспользоваться общими теоремами об алгебраической независимости значений Е-функций, установленными в гл. 3—10, то с помощью следствия из теоремы 5 можно получать соответствующие оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций.

Например, если воспользоваться результатами первой и второй основных теорем гл. 3 (которые остаются справедливыми при переходе к сопряженным полям), то из следствия теоремы 5 получаются все неравенства утверждения теоремы 1, но только о достоянными в их правых частях.

Аналогично, если использовать результаты теорем 12 и 14 гл. 4, то из следствия теоремы 5 получаем утверждения теорем 3 и 4.

Из теоремы 5 гл. 4 и следствия из теоремы 6 получаем следующий результат.

Теорема 7. Пусть совокупность КЕ-функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных

ферещиальпых уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над равную а функции алгебраически независимы над

Тогда существуют постоянные (постоянные у и с) такие, что почти для всех выполняются неравенства (73) и (74), а в неоднородном случае неравенство (75).

Доказательство. По теореме 5 гл. 4 при условии теоремы 7 почти для всех А числа алгебраические независимы. Этот результат сохраняется и при переходе к сопряженным полям Следовательно, почти для всех при всех чисел (72) алгебраически независимы. Поэтому по следствию из теоремы 5 выполняются неравенства (73) и (74), а в неоднородном случае неравенство (75).

Из теоремы 6 гл. 4 и следствия из теоремы 6 аналогично получаем соответствующую количественную теорему.

Теорема 8. Пусть совокупность КЕ-функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над равную . Функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции связаны алгебраическими уравнениями

где однородный (произвольный) многочлен от переменных с коэффициентами из старший член которого имеет вид

Далее,

Тогда выполняются неравенства (73) и (74), а в неоднородном случае неравенство (75).

Наконец, из теорем 7 и 8 гл. следствия из теоремы 6 получаем следующие результаты.

Теорема 9. Пусть совокупность КЕ-функций

1), составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) как над так и над С, равную а функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над Далее,

— любой однородный (произвольный) многочлен такой, что

Тогда существуют постоянные такие, что выполняется неравенство

и неравенства (73) и (74), а в неоднородном случае неравенство

а неравенство (75).

Теоремы 1—9 нетрудно переформулировать на случай функции и ряда ее последовательных производных, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из

Заметим, что в этой главе, как и в гл. 4, не до конца исследованы все случаи, когда рассматривается совокупность Е-функций, алгебраически зависимых над Не исследован случай, когда функции (1) связаны произвольными алгебраическими уравнениями над и случай, когда рассматриваемые минимальные уравнения, связывающие функции (1) над имеют произвольные старшие члены.