§ 9. Функциональные линейные приближающие формы

В установленных выше вспомогательных предложениях рассматриваемые функции принадлежали более широкому классу функций, чем класс Е-функций. Эти предложения могут быть использованы при обобщениях метода, составляющего основное содержание книги, на другие классы функций.

Во всех следующих леммах, кроме леммы 18, необходимых для доказательства первой основной теоремы, будут рассматриваться Е-функции, так как при доказательствах необходимо пользоваться арифметическими свойствами коэффициентов их степенных рядов. Эти вспомогательные предложения могут быть соответственно передоказаны при применении метода к другим классам функций, например, к -функциям (см., например, [18: 1],

Рассмотрим КЕ-функции и линейную форму

В § 3 было показано, что можно так выбрать коэффициенты многочленов А, не все равные нулю, что будет выполнено условие Они находятся из системы линейных однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю в степенном ряде по степеням z функции коэффициенты при Эта система уравнений всегда имеет нетривиальное решение, так как в ней число неизвестных больше числа уравнений. Ее коэффициенты принадлежат полю К, поскольку коэффициенты степенных рядов рассматриваемых КЕ-функций принадлежат К, а ввиду ее однородности коэффициенты многочленов могут быть выбраны числами из

Лемма 13 позволяет в этом случае получить оценку сверху для модулей коэффициентов и их сопряженных в поле К у многочленов Однако такая оценка по своей величине будет непригодной для получения интересующих нас арифметических результатов, так как дробь близка к 1. Но если несколько ослабить требование относительно порядка нуля при у формы так чтобы он был не максимально возможным, но все же достаточно большим, то тогда с помощью леммы 13 оценка для модулей коэффициентов и их сопряженных у многочленов получится удобной для приложений.

Лемма 14. Пусть совокупность КЕ-функций,

Тогда существуют многочленов

со следующими свойствами:

1) все в совокупности отличны от нуля и

при равномерно по к и

2) линейная форма

такова, что

3) коэффициенты ряда (115) при всех достаточно больших удовлетворяют условию

равномерно по

Доказательство. Обозначим

где неопределенные коэффициенты из Тогда Далее, обозначим

где

Из равенств (115) и (120) находим

Из определения Е-функции следует, что существует последовательность такая, что

причем

а также

Для выполнения условия (116) потребуем, чтобы выполнялись равенства

Эти равенства составляют систему из линейных однородных уравнений относительно неизвестных Коэффициенты системы (125) ввиду оценок (123) и (124) удовлетворяют условию

Пользуясь леммой 13 со значениями

найдем в совокупности отличные от нуля и такие, что

так как

Поскольку коэффициенты многочленов ввиду равенства (119) равны, соответственно, и так как то из оценки (127) следует оценка (114).

Утверждение (117) следует из равенств (121) и (122) ввиду оценок (124) и (127). Действительно,

Линейная форма (115), сконструированная по лемме 14, имея при нуль достаточно высокого порядка, допускает хорошее в алгебраическом смысле приближение к нулю. Линейные формы от каких-либо функций, обладающие этим свойством, называют функциональными линейными приближающими формами, или короче, приближающими формами.

Пусть совокупность рассматриваемых КЕ-функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (7). Обозначим где линейная приближающая форма (115), удовлетворяющая условиям леммы 14. Тогда с помощью равенств (35) (или из нее получим линейные формы в которых Если рассматриваемые КЕ-функции линейно независимы над то по лемме 3 коэффициенты системы дифференциальных уравнений (7) удовлетворяют условиям (12) и (13), а тогда из равенств (37) следует, что у всех линейных форм все коэффициенты

Положим в лемме По этой лемме получим, что при линейные формы линейно независимы, а определитель из их коэффициентов имеет вид (87), где Коэффициенты многочленов и их сопряженные в поле К, а также коэффициенты степенных рядов линейных форм могут быть оценены с помощью равенств (37) и оценок (114) и (117).

Все линейные формы имеют достаточно большой порядок нуля при Следовательно, из одной функциональной линейной приближающей формы (115) с помощью равенств (35) получается совокупность линейно независимых функциональных линейных приближающих форм.