§ 3. Приближение алгебраических чисел рациональными числами

Арифметические действия над алгебраическими числами приводят снова к алгебраическим числам. Следовательно, множество всех алгебраических чисел образует поле, которое будем обозначать А.

Пусть а — алгебраическое число. Существует единственный неприводимый многочлен со старшим коэффициентом равным 1, имеющий а своим корнем. Такой многочлен называют минимальным многочленом алгебраического числа а, а степень этого многочлена — степенью а и обозначают

Если а — алгебраическое число, то числа а являющиеся корнями его минимального многочлена, называются числами сопряженными с а.

Обозначим

Будем называть эту величину размером алгебраического числа а.

Докажем теорему Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами.

Теорема Лиувилля. Если а — действительное алгебраическое число степени то существует постоянная такая, что при любых выполняется неравенство

Доказательство. Предположим, что а является корнем неприводимого многочлена

числа сопряженные с а. Тогда

Пусть произвольные числа, Рассмотрим два случая.

1) . Если удовлетворяют неравенству

то

Если же

то тогда

Далее, так как при неприводимый многочлен не может иметь рациональный корень.

Положим в равенстве Замечая, что

и ввиду неравенств (38)

получим

Неравенство (35) следует из неравенств (37) и (39), если положить

2) . Имеем Тогда

В рассматриваемом случае утверждение теоремы следует из последнего неравенства, если уменьшить значение постоянной с.

В теореме Лиувилля предположение относится только к случаю, когда так как при число а иррационально. Утверждение теоремы Лиувилля в случае было установлено еще в § 1 в неравенстве (3).

Следствие. При условиях теоремы Лиувилля существует постоянная такая, что неравенства

не имеют решений

Отсюда получаем, что алгебраическое число а степени не может допускать степенной порядок приближения рациональными числами лучший чем При отсюда и из

теоремы 2 следует, что для действительных квадратичных иррациональностей наилучший порядок приближения рациональными числами есть Это показывает, что квадратичные иррациональности входят в подмножество действительных чисел, для которых наилучший порядок приближения рациональными числами является минимальным. Следовательно, теорема Лиувилля до конца решает вопрос о порядке приближения квадратичных иррациональностей рациональными дробями.

Теорема Лиувилля представляет собой необходимый признак алгебраичности числа а и, следовательно, достаточный признак трансцендентности. Из нее получаем следующую теорему.

Теорема 6. Пусть а — действительное число такое, что при любом неравенство

имеет бесконечное множество решений

Тогда а есть трансцендентное число.

Доказательство. Допустим противное, что при условиях теоремы а есть алгебраическое число степени По теореме Лиувилля существует постоянная такая, что при любых выполняется неравенство

Положим в неравенстве и выберем такое его решение, что Тогда выполняется неравенство

которое противоречит неравенству (41).

Теорема 7. Существуют трансцендентные числа.

Доказательство. Достаточно построить пример трансцендентного числа. В § 1 было рассмотрено число

и показано, что для него неравенство (11) при любом имеет бесконечное множество решений Поэтому по теореме 6 а есть трансцендентное число.

Теорема 6 позволяет строить и другие примеры трансцендентных чисел. Например, числа, заданные цепными дробями с натуральными элементами, у которых элементы растут достаточно быстро по сравнению со знаменателями подходящих дробей, будут трансцендентными числами.

Трансцендентные числа, удовлетворяющие условию теоремы 6, называются числами Лиувилля.

Теорема Лиувилля сформулирована для действительного алгебраического числа а. Она выполняется и для комплексного числа а. Но рассматривать приближения чисел числами из не представляет интереса, так как приблизиться рациональными числами к такому числу а достаточно близко нельзя.