§ 7. Теорема Линдемана

Теперь, пользуясь методом, изложенным в § 5 и 6, докажем теорему Линдемана. Предварительно установим одно вспомогательное предложение.

Пусть Обозначим число различных систем из неотрицательных целых чисел удовлетворяющих условию число таких же систем, но удовлетворяющих условию

Лемма 7. При любых выполняются равенства

Доказательство. Число решений уравнения в целых неотрицательных числах равно коэффициенту при в ряде

Но

откуда следует равенство (130).

Далее, заметим, что

Действительно, полагая в равенстве последовательно и подсчитывая при этом каждый раз число различных систем получим, что

Из равенств (130) и (132) следует равенство (131). Теорема Линдемана. Если алгебраические числа линейно независимые над полем то числа алгебраически независимы.

Доказательство. Допустим противное, что алгебраически зависимы. Тогда существует многочлен

такой, что

Пусть К обозначает алгебраическое поле, содержащее числя и все коэффициенты многочлена

Положим где и рассмотрим совокупность произведений степеней

Перенумеруем ее произвольно и обозначим Рассмотрим также совокупность произведений степеней

Перенумеруем ее произвольно и обозначим Тогда

где либо нули, либо коэффициенты многочлена

Правые части равенств (137) как линейные формы от с постоянными коэффициентами линейно независимы, поскольку являются многочленами от не связанными никаким линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами.

Обозначим

где набор показателей, соответствующий произведению Тогда являются различными числами поля К, поскольку числа линейно независимы над а наборы соответствующие различным значениям различны.

Полагая ввиду равенств (137) и (138) и уравнения (134), получим, что

Теперь рассмотрим приближающих линейных форм от функций введенных в § 6,

Определитель этой системы линейных форм в точке отличен от нуля. Поэтому числовые линейные формы от чисел с коэффициентами из получающиеся из форм (140) при линейно независимы и из них можно выбрать форм для так, что последние будут линейно независимы вместе с формами (139).

Обозначим

Тогда

где ввиду равенств

Пусть — определитель системы линейных форм (141), алгебраические дополнения элементов

первого столбца в Из равенств (141) имеем, что

Теперь воспользуемся свойствами линейных форм (128). Так как равно или то по условию (117) существует число такое, что числа

Следовательно, откуда

Кроме того, из неравенств (116) следует, что

а тогда

С другой стороны, по неравенству (114)

а пользуясь неравенствами (144), (146) и равенством (142), находим, что

Из оценок (145) и (147) имеем, что

Пусть Сравнивая оценки (143) и (148), получим, что или

Но по лемме 7

а тогда неравенства (149) и (150) при достаточно большом противоречивы. Полученное противоречие доказывает, что утверждение теоремы Линдемана справедливо.

Заметим, что если числа линейно зависимы над то числа алгебраически зависимы.

Действительно, пусть

Обозначим

Тогда

откуда следует рассматриваемое утверждение.

Теорему Линдемана можно переформулировать в следующей эквивалентной форме.

Теорема Линдемана. Если различные алгебраические числа, алгебраические числа не все равные нулю, то

Докажем эквивалентность двух приведенных формулировок теоремы Линдемана.

1. Если выполнена теорема в первой формулировке, то она верна и во второй формулировке.

Действительно, пусть среди чисел ровно I линейно независимых над Выберем среди них любые I линейно независимых чисел и обозначим их Тогда

Если есть наименьший общий знаменатель всех чисел то положим

Рассмотрим рациональную функцию

с произвольными алгебраическими коэффициентами, не всеми равными нулю. так как наборы показателей различны. Положим в равенстве

Пользуясь утверждением теоремы в первой формулировке и равенством (152), получим, что

при любых не всех равных нулю.

2. Если выполнена теорема во второй формулировке, то она справедлива и в первой формулировке.

В самом деле, в противном случае существует многочлен

такой, что

где суммирование распространяется на конечное число различных систем Но равенство (154) противоречит теореме Линдемана во второй формулировке, поскольку в нем показатели различны, ввиду линейной независимости чисел над

Это завершает доказательство эквивалентности двух формулировок теоремы Линдемана.