§ 11. Размерности векторных пространств, порожденных произведениями степеней элементов из расширения некоторого поля

Вернемся к вопросу, который рассматривался в § 3. Пусть снова V — поле, его расширение, и множества (19) и (20) произведений степеней элементов из порожденные множествами (19) и (20) векторные пространства над Теперь вместо неравенств (21) и (22) установим вид функций

Теорема 13. Пусть и степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множества элементов из над V равна

Тогда существуют числа зависящее только от и поля V, такие, что при всех выполняется равенство

или, соответственно, равенство

Доказательство. Рассмотрим однородный случай. Подмножество множества рассмотренное в § 10, по лемме 17 образует базис векторного пространства Поэтому равно числу элементов множества Для того чтобы найти это число, представим в виде суммы некоторых его подмножеств.

Рассмотрим совокупность всевозможных наборов по не равных нулю показателей Иггь взятых по одному из каждого минимального элемента (93). Возьмем любой такой набор. В нем могут встречаться показатели с одинаковыми значениями первых индексов В этом случае из нескольких показателей с одинаковыми первыми индексами оставим в наборе только один наименьший по величине показатель. Полученные посла этого наборы обозначим

При этом число показателей для различных наборов может быть различным. Однако всегда Число всех наборов (100), очевидно, не зависит от

Перенумеруем наборы (100) произвольно от 1 до и набору с номером поставим в соответствие множество состоящее из элементов их из удовлетворяющих неравенствам

Тогда любой элемент из при некотором наборе (100) удовлетворяет неравенствам (101) и поэтому принадлежит по крайней мере одному из подмножеств причем набор (100) получается указанным выше способом из соответствующего набора показателей в неравенстве (96).

С другой стороны, каждый элемент подмножества при некотором наборе показателей очевидно, удовлетворяет неравенствам (96) и поэтому принадлежит

Итак,

Пусть В — любое подмножество множества Обозначим число элементов подмножества В. Тогда

Имеем

Найдем число элементов подмножества Обозначим где есть соответствующий набор показателей (100), определяющий подмножество Положим и зафиксируем какие-либо целые неотрицательные значения удовлетворяющие неравенствам (101), а остальные показатели пробегают целые неотрицательные значения такие, что

Тогда число элементов удовлетворяющих этим условиям, по лемме 7 гл. 2, равно

Поэтому, пользуясь неравенствами (101), получаем

где а коэффициенты многочлена не зависят от

Подмножество определяется двумя соответствующими подмножествам наборами из совокупности (100). Выберем теперь из этих двух наборов показателей наименьшие показатели с разными номерами. Тогда получим новый набор показателей и соответствующие ему неравенства, аналогичные неравенствам (101), которые определяют подмножество Следовательно, также представляет собой многочлен из

Аналогично находим, что все выражения

являются многочленами из

Положим

Тогда из равенства (102) получим, что при выражение для числа элементов базиса имеет вид многочлена из По лемме 6 степень этого многочлена равна так как то Это доказывает равенство (98). Равенство (99) есть следствие равенства (98).

Если известны минимальные уравнения для элементов (90), то с их помощью можно получить эффективные оценки для

Лемма 18. Утверждение леммы 6 окажется справедливым, если в нем заменить число к на где показатели старших членов минимальных уравнений (93).

Доказательство леммы 18 аналогично доказательству леммы 6, если только вместо уравнений (25) рассматривать минимальные уравнения (95).