§ 3. Функции ...

Докажем теорему, обобщающую теорему 2.

Теорема А. Пусть

Тогда числа алгебраически независимы. Сначала докажем необходимые вспомогательные предложения.

Лемма 6. Если

а — дифференциальный оператор (28), связанный с дифференциальным уравнением (9), то многочлен может делиться на многочлен как многочлен от трех независимых переменных, тогда и только тогда, когда он имеет вид

Доказательство. Пусть делится на Так как степень по не больше степени а степень по , быть может, превосходит степень на единицу, то частное от деления на будет многочленом от z степени не выше чем первой. Поэтому

Пусть теперь у — произвольное решение дифференциального уравнения (9). Тогда

Полагая где и у - два линейно независимых решения дифференциального уравнения (9), а и интегрируя дифференциальное уравнение (52), получим

Докажем, что многочлен не зависит от .

Действительно, в противном случае пусть сумма однородных членов наибольшей степени по у и входящих в Так как при применении оператора к многочлену любая совокупность однородных членов одной и той же степени по у и у переходит в совокупность таких же членов или нуль, то из равенства (51) имеем

откуда

Поскольку левая часть равенства (54) — однородный многочлен положительной степени от и 2, то и является однородным многочленом положительной степени от и 2. Поэтому можно выбрать одновременно не равными нулю так, что Тогда для соответствующего нетривиального решения дифференциального уравнения что по лемме 3 невозможно. Значит, и не зависит от Тогда из равенства (53) следует, что и выполняется равенство (50).

Если же многочлен имеет вид (50), то, очевидно, что делится на Лемма доказана.

Лемма 7. Если — любое нетривиальное решение дифференциального уравнения (9), то функции алгебраически независимы над

Доказательство. По лемме 3 функции алгебраически независимы над Допустим противное, что алгебраически зависимы над Тогда существует алгебраическое уравнение

где — неприводимый многочлен из и в совокупности взаимно просты.

Пусть

где дифференциальный оператор (28). Так как по предположению степень трансцендентности над множества функций равна 2 и выполняется уравнение (55), то по лемме 4 гл. делится на как многочлен от четырех независимых переменных. Рассуждая как в лемме 4, убеждаемся, что частное от деления есть многочлен из степени не выше чем первой. Итак,

Из уравнения (55) и равенства (56) имеем а из уравнений (55) и (58) и тождества (57) получаем, что

Тождество (59) означает, что многочлен делится на многочлен при каждом Следовательно, по лемме 6

Последние равенства означают, что не содержит а тогда уравнение (55) противоречиво, так как есть трансцендентная функция. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.

Доказательство теоремы 4. Функции

составляют решение системы дифференциальных уравнений

и по лемме 7 при алгебраически независимы над Поэтому по второй основной теореме гл. 3 числа алгебраически независимы.